Determine, caso exista, os seguintes limites no infinito:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função é a razão entre dois polinômios: numerador
e denominador . - O limite é tomado quando
tende a (ou seja, vai para valores muito negativos).
A pergunta é única: determinar o valor desse limite, caso exista.
Passo 2
Escolha de método (explicando por que): quando temos uma fração de polinômios e
, o método mais direto é fatorar pelo maior grau de
que aparece (aqui ambos têm grau
) e simplificar. Isso mostra claramente quais termos dominam quando
cresce muito. Esse método funciona sempre e é fácil de aplicar na prova sem calculadora.
Passo 3
Reescrevendo o numerador e o denominador fatorando
(válido para
, o que não atrapalha o limite):
Portanto, para
,
Passo 4
Agora analisamos os termos que dependem de
. Quando
temos
porque uma constante dividida por um número cuja magnitude cresce sem limite tende a zero (ainda que, no caso
, esses quocientes tendam a
vindo de valores negativos, o que não altera o valor limite que é
). Assim, tomando limites na expressão simplificada,
Justificativa técnica breve: a limite do quociente é o quociente dos limites porque o limite do denominador é
.
Passo 5
Interpretação prática/atalho para a prova: para frações de polinômios com o mesmo grau no numerador e no denominador, o limite no infinito é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o termo de maior grau do numerador é
(coeficiente
) e do denominador é
(coeficiente
), daí o resultado
. Isso é rápido de aplicar em questões parecidas.