Determine, caso exista, os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5-x}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{5-x}{2x+3}.
Informações dadas:
  • A função é a razão entre dois polinômios: numerador 5-x e denominador 2x+3.
  • O limite é tomado quando x tende a -\infty (ou seja, x vai para valores muito negativos).
    A pergunta é única: determinar o valor desse limite, caso exista.

Passo 2

Escolha de método (explicando por que): quando temos uma fração de polinômios e x\to\pm\infty, o método mais direto é fatorar pelo maior grau de x que aparece (aqui ambos têm grau 1) e simplificar. Isso mostra claramente quais termos dominam quando |x| cresce muito. Esse método funciona sempre e é fácil de aplicar na prova sem calculadora.

Passo 3

Reescrevendo o numerador e o denominador fatorando x (válido para x\neq0, o que não atrapalha o limite):
5-x = x\!\left(-1+\frac{5}{x}\right), \qquad 2x+3 = x\!\left(2+\frac{3}{x}\right).
Portanto, para x\neq0,
\frac{5-x}{2x+3} = \frac{x\!\left(-1+\dfrac{5}{x}\right)}{x\!\left(2+\dfrac{3}{x}\right)} = \frac{-1+\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{3}{x}}.

Passo 4

Agora analisamos os termos que dependem de x. Quando x\to -\infty temos
\frac{5}{x}\to 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{3}{x}\to 0,
porque uma constante dividida por um número cuja magnitude cresce sem limite tende a zero (ainda que, no caso x\to -\infty, esses quocientes tendam a 0 vindo de valores negativos, o que não altera o valor limite que é 0). Assim, tomando limites na expressão simplificada,
\lim_{x\to -\infty}\frac{5-x}{2x+3} = \lim_{x\to -\infty}\frac{-1+\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{3}{x}} = \frac{-1+0}{2+0} = -\frac{1}{2}.
Justificativa técnica breve: a limite do quociente é o quociente dos limites porque o limite do denominador é 2\neq0.

Passo 5

Interpretação prática/atalho para a prova: para frações de polinômios com o mesmo grau no numerador e no denominador, o limite no infinito é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o termo de maior grau do numerador é -x (coeficiente -1) e do denominador é 2x (coeficiente 2), daí o resultado -1/2. Isso é rápido de aplicar em questões parecidas.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados