Determine, caso exista, os seguintes limites no infinito:
\lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{t \sqrt{t}-1}{3 t-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\to-\infty}\frac{t\sqrt{t}-1}{3t-1}.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \dfrac{t\sqrt{t}-1}{3t-1}.
  • O limite deve ser tomado quando t tende a -\infty (isto é, t vai para valores reais muito negativos).

Passo 2

Antes de tentar calcular o limite, precisamos verificar para quais valores reais de t a expressão faz sentido (domínio da função). A raiz quadrada \sqrt{t}, no contexto de funções reais, está definida apenas para
t\ge 0.
Portanto, a expressão \dfrac{t\sqrt{t}-1}{3t-1} não é uma função real definida para valores de t negativos.

Passo 3

O conceito de limite quando t\to -\infty no contexto de funções reais exige que a função esteja definida em valores reais arbitrariamente grandes em módulo no lado negativo — isto é, deve haver M<0 tal que a função esteja definida para todo t<M. Como a função não está definida para nenhum t<0, não existe uma vizinhança (intervalo) de valores muito negativos em que a função seja real e bem definida. Logo, a sequência de aproximação de t a -\infty por valores reais não é aplicável aqui.

Passo 4

Portanto, no contexto de funções reais a expressão não está definida para t próximos de -\infty e o limite pedido não faz sentido — não existe limite real.

Passo 5

Se alguém estendesse a função ao plano complexo usando a raiz principal \sqrt{t} para argumentos negativos (onde \sqrt{-x}=i\sqrt{x} para x>0), poderíamos estudar o comportamento ao longo do eixo real negativo. Fazendo t=-x com x\to+\infty e usando \sqrt{-x}=i\sqrt{x} obteríamos
t\sqrt{t}=(-x)\cdot i\sqrt{x}=-i x^{3/2}, \qquad 3t-1=-3x-1\sim -3x,
então
\frac{t\sqrt{t}-1}{3t-1}\sim\frac{-i x^{3/2}}{-3x}=\frac{i}{3}\sqrt{x}\xrightarrow[x\to\infty]{} \infty\\ \text{(em módulo),}ó
ou seja, diverge (não converge para um número complexo finito). Isso reforça que não há limite finito ao longo do eixo real negativo mesmo numa extensão complexa.

Resposta

O limite não existe (a expressão não está definida para t<0).

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