Determine, caso exista, os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(5-3 x+4 x^{2}-x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se determine, se existir, o limite no infinito da expressão polinomial
5-3x+4x^{2}-x^{3}
ou seja, calcular
\lim_{x\to\infty}\left(5-3x+4x^{2}-x^{3}\right).
Informações dadas: a função considerada é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder igual a -1 (isto é, o termo de maior grau é -x^{3}).

Passo 2

Ideia útil (sem resolver ainda): para polinômios, o comportamento quando x\to\infty é dominado pelo termo de maior grau (o termo líder). Aqui o termo líder é -x^{3}. Vou tornar isso rigoroso fatorando x^{3} para evidenciar a contribuição relativa dos termos menores.

Passo 3

Reescrevendo o polinômio colocando o termo de maior grau primeiro e fatorando x^{3}:
5-3x+4x^{2}-x^{3} = -x^{3}+4x^{2}-3x+5 = x^{3}\Big(-1+\frac{4}{x}-\frac{3}{x^{2}}+\frac{5}{x^{3}}\Big).
Analisar o comportamento das frações quando x\to\infty. São limites básicos:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=0.
Portanto, multiplicando por constantes:
\lim_{x\to\infty}\frac{4}{x}=0,\quad \lim_{x\to\infty}\frac{3}{x^{2}}=0,\quad \lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^{3}}=0.

Passo 4

Combinando o resultado do passo anterior, o fator entre parênteses tende a -1:
\lim_{x\to\infty}\Big(-1+\frac{4}{x}-\frac{3}{x^{2}}+\frac{5}{x^{3}}\Big) = -1.
Como x^{3}\to\infty quando x\to\infty, temos um produto do tipo x^{3}\cdot(\text{uma função que tende a }-1)çã. Mais formalmente: existe M tal que, para x>M, o parêntese é negativo e próximo de -1 (por exemplo < -\tfrac{1}{2}); multiplicando por x^{3} que cresce sem limite, o produto tende a -\infty.

Passo 5

Interpretação alternativa e rápida (útil para prova): como o polinômio é de grau ímpar 3 e o coeficiente líder é negativo ( -1), quando x\to\infty o polinômio tende a -\infty. Exemplo simples: \lim_{x\to\infty} -x^{3} = -\infty, e os termos de menor grau só ajustam a curva localmente, não mudam o comportamento dominante no infinito.

Resposta

-\infty

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