Determine, caso exista, os seguintes limites no infinito:
Passo 1
O enunciado pede que se determine, se existir, o limite no infinito da expressão polinomial
ou seja, calcular
Informações dadas: a função considerada é um polinômio de grau
com coeficiente líder igual a
(isto é, o termo de maior grau é
).
Passo 2
Ideia útil (sem resolver ainda): para polinômios, o comportamento quando
é dominado pelo termo de maior grau (o termo líder). Aqui o termo líder é
. Vou tornar isso rigoroso fatorando
para evidenciar a contribuição relativa dos termos menores.
Passo 3
Reescrevendo o polinômio colocando o termo de maior grau primeiro e fatorando
:
Analisar o comportamento das frações quando
. São limites básicos:
Portanto, multiplicando por constantes:
Passo 4
Combinando o resultado do passo anterior, o fator entre parênteses tende a
:
Como
quando
, temos um produto do tipo
. Mais formalmente: existe
tal que, para
, o parêntese é negativo e próximo de
(por exemplo <
); multiplicando por
que cresce sem limite, o produto tende a
.
Passo 5
Interpretação alternativa e rápida (útil para prova): como o polinômio é de grau ímpar
e o coeficiente líder é negativo (
), quando
o polinômio tende a
. Exemplo simples:
, e os termos de menor grau só ajustam a curva localmente, não mudam o comportamento dominante no infinito.