Determine, caso exista, os seguintes limites no infinito:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da função racional
Informações dadas e observações claras:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Ambos são polinômios de grau
(o maior expoente de em cada polinômio é ). - A pergunta é: qual é o valor de
, se esse limite existir?
Passo 2
Ideia didática (ferramenta que vamos usar). Para funções racionais onde numerador e denominador são polinômios, uma técnica muito prática é dividir todos os termos pelo maior poder de
que aparece (aqui
). Isso mostra claramente o comportamento das parcelas de ordem inferior quando
cresce muito. Outra forma de pensar, equivalente, é perceber que o termo de maior grau domina o comportamento quando
; o limite costuma ser a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau, desde que os graus sejam iguais. Vou mostrar isso por fatoração/divisão para ficar formal e claro.
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
. Escrevendo explicitamente:
Simplificando os quocientes dentro dos parênteses (
,
), obtemos
Passo 4
Agora aplicamos propriedades básicas de limites: quando
, termos do tipo
com
tendem a
. Logo
Usando a continuidade das operações (soma, subtração e divisão, desde que o denominador limite não seja zero), passamos ao limite da expressão simplificada:
Passo 5
Calculando a fração restante obtemos o valor do limite:
Interpretação rápida: como os dois polinômios têm o mesmo grau (
), o termo dominante de cada um é o termo com
; o limite no infinito é a razão entre os coeficientes desses termos dominantes (aqui
no numerador e
no denominador).