Determine, caso exista, os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x^{3}-10 x-4}{5 x^{3}+28 x+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x\to\infty da função racional
\frac{6x^{3}-10x-4}{5x^{3}+28x+2}.
Informações dadas e observações claras:
  • O numerador é o polinômio 6x^{3}-10x-4.
  • O denominador é o polinômio 5x^{3}+28x+2.
  • Ambos são polinômios de grau 3 (o maior expoente de x em cada polinômio é 3).
  • A pergunta é: qual é o valor de \lim_{x\to\infty}\dfrac{6x^{3}-10x-4}{5x^{3}+28x+2}, se esse limite existir?

Passo 2

Ideia didática (ferramenta que vamos usar). Para funções racionais onde numerador e denominador são polinômios, uma técnica muito prática é dividir todos os termos pelo maior poder de x que aparece (aqui x^{3}). Isso mostra claramente o comportamento das parcelas de ordem inferior quando x cresce muito. Outra forma de pensar, equivalente, é perceber que o termo de maior grau domina o comportamento quando x\to\infty; o limite costuma ser a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau, desde que os graus sejam iguais. Vou mostrar isso por fatoração/divisão para ficar formal e claro.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^{3}. Escrevendo explicitamente:
\frac{6x^{3}-10x-4}{5x^{3}+28x+2} = \frac{x^{3}\!\left(6-\dfrac{10x}{x^{3}}-\dfrac{4}{x^{3}}\right)}{x^{3}\!\left(5+\dfrac{28x}{x^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}\right)}.
Simplificando os quocientes dentro dos parênteses ( \dfrac{10x}{x^{3}}=\dfrac{10}{x^{2}}, \dfrac{28x}{x^{3}}=\dfrac{28}{x^{2}}), obtemos
\frac{6x^{3}-10x-4}{5x^{3}+28x+2} = \frac{6-\dfrac{10}{x^{2}}-\dfrac{4}{x^{3}}}{5+\dfrac{28}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora aplicamos propriedades básicas de limites: quando x\to\infty, termos do tipo \dfrac{1}{x^{k}} com k>0 tendem a 0. Logo
\lim_{x\to\infty}\dfrac{10}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{4}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{28}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x^{3}}=0.
Usando a continuidade das operações (soma, subtração e divisão, desde que o denominador limite não seja zero), passamos ao limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to\infty} \frac{6-\dfrac{10}{x^{2}}-\dfrac{4}{x^{3}}}{5+\dfrac{28}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}} = \frac{6-0-0}{5+0+0}.

Passo 5

Calculando a fração restante obtemos o valor do limite:
\frac{6}{5}.
Interpretação rápida: como os dois polinômios têm o mesmo grau ( 3), o termo dominante de cada um é o termo com x^{3}; o limite no infinito é a razão entre os coeficientes desses termos dominantes (aqui 6 no numerador e 5 no denominador).

Resposta

\dfrac{6}{5}

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