Determine, caso exista, os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(a) x+y-z & =1 2 x+3 y+k z & =3, x+k y+3 z & =2
(i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas lineares! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas:
x + y - z = 1 2x + 3y + kz = 3 x + ky + 3z = 2
Queremos descobrir para quais valores de k esse sistema tem:
  1. Uma única solução
  2. Infinitas soluções
  3. Nenhuma solução
Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinantes e matrizes, que ajudam a identificar quantas soluções um sistema linear tem.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente de cada variável nas equações:
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & k 1 & k & 3
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos diz se o sistema tem uma única solução, infinitas ou nenhuma. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante na nossa matriz A :
det(A) = 1 cdot (3 cdot 3 - k cdot k) - 1 cdot (2 cdot 3 - k cdot 1) + (-1) cdot (2 cdot k - 3 cdot 1)
Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Calcular 3 cdot 3 - k cdot k = 9 - k^2
  2. Calcular 2 cdot 3 - k cdot 1 = 6 - k
  3. Calcular 2 cdot k - 3 cdot 1 = 2k - 3
Substituindo de volta:
det(A) = 1 cdot (9 - k^2) - 1 cdot (6 - k) + (-1) cdot (2k - 3)
Simplificando mais:
det(A) = 9 - k^2 - 6 + k - 2k + 3 = -k^2 - k + 6

Passo 4

Agora, analisamos o determinante para determinar as soluções:
  1. Uma única solução: Quando det(A) neq 0
  2. Infinitas soluções ou nenhuma solução: Quando det(A) = 0
Vamos resolver -k^2 - k + 6 = 0 para encontrar os valores críticos de k :
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
k^2 + k - 6 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
k = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Então, temos:
k1 = -1 + 52 = 2 e k2 = -1 - 52 = -3

Passo 5

Agora, vamos analisar os casos:
  1. Quando [det(A) \neq 0):
    • Isso acontece para todos os valores de exceto e .
    • Portanto, para e , o sistema tem uma única solução.
  2. Quando :
    • Isso ocorre para e .
    • Nesses casos, precisamos verificar se o sistema é consistente (tem soluções) ou inconsistente (não tem solução).
Vamos verificar esses casos:
  • Para :
    Substituindo nas equações:
Resolvendo esse sistema, percebemos que existe uma única solução mesmo com leva a uma única solução.
  • Para :
    Substituindo nas equações:
Resolvendo esse sistema, descobrimos que ele é inconsistente, ou seja, não tem solução.

Resposta

Para o sistema dado:
  • (i) Uma única solução para todos os valores de k exceto k = -3 .
  • (ii) Infinitas soluções: Não ocorre nenhum valor de k que leve a infinitas soluções.
  • (iii) Nenhuma solução quando k = -3 .

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