Determine, caso exista, os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(a)
(i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas lineares! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas:
x + y - z = 1 2x + 3y + kz = 3 x + ky + 3z = 2
Queremos descobrir para quais valores de k esse sistema tem:
Uma única solução
Infinitas soluções
Nenhuma solução
Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinantes e matrizes, que ajudam a identificar quantas soluções um sistema linear tem.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente de cada variável nas equações:
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & k 1 & k & 3
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos diz se o sistema tem uma única solução, infinitas ou nenhuma. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante na nossa matriz A :