Determine, caso exista, os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações lineares em três incógnitas
O conteúdo é teoria de sistemas lineares, em particular a análise pelo posto (rank) da matriz dos coeficientes . Vamos usar:
Se número de incógnitas, o sistema tem infinitas soluções.
Se , não há solução.
Se ºó, há solução única (impossível aqui porque é ).
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & k 2 & k & 8
e a matriz aumentada
[Amid b] = 1 & 2 & k & m| & 1 2 & k & 8 & m| & 3
Como A é 2times3, o seu posto rank(A) vale no máximo 2, logo nunca pode atingir 3. Portanto não há valor de k que torne o sistema com única solução.
Passo 3
Para verificar infinitas soluções, precisamos de
rank(A) ;=;rank([Amid b]);<3
O posto de A será 2 sempre que suas duas linhas não forem proporcionais. Supondo que existisse lambda tal que
(1,2,k) = lambda,(2,k,8),
teríamos lambda = tfrac12 da primeira coordenada e, em seguida,
2 = lambda,k = tfrac12,kLongrightarrow k=4,
e também k = 8lambda =4, confirmando que a única possibilidade de proporcionalidade é k=4. Logo para todokneq4 as linhas são independentes e rank(A)=2. Nesse caso a matriz aumentada também tem posto 2, e sendo 2<3, o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Para inexistência de solução precisamos de
Isso só ocorre se as linhas de
e da primeira para a segunda o fator seria . Assim , gerando sistema impossível.
Resposta
(i) não existe valor de k que dê solução única;
(ii) infinitas soluções para kneq4;
(iii) nenhuma solução para k=4.