Determine, caso exista, os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y-z & =1

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear paramétrico em com parâmetro :
O conteúdo principal é Álgebra Linear: usaremos o determinante da matriz de coeficientes para ver quando o sistema é único (matriz invertível) e, se for singular, comparar o posto da matriz com o posto da matriz aumentada para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & k 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1
e calculamos seu determinante por expansão:
det(A) = 1cdotl(4cdot(-1)-2cdot3r) -1cdotl(3cdot(-1)-2cdot2r) + kcdotl(3cdot3-4cdot2r)
det(A)=k-3

Passo 3

Se det(A)neq0, ou seja kneq3, então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 4

Se k=3, então det(A)=0 e a matriz fica singular. Para ver se há soluções ou não, analisamos a dependência linear entre as equações. Quando k=3, as três linhas de A satisfazem
R3 = -,R1 + R2
No lado direito, os termos independentes são (2,k,1)=(2,3,1) e obedecem à mesma combinação
1 = -,2 + 3
Como a relação de dependência vale tanto para os coeficientes quanto para os termos independentes, o posto da matriz aumentada continua 2 e o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.

Passo 5

Não há nenhum valor de k que torne o sistema incompatível (nenhuma solução), pois a única singularidade ocorre em k=3 e aí o sistema é compatível.

Resposta

(i) k neq 3
(ii) k = 3
(iii) não existe valor de k que dê nenhuma solução.

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