Determine, caso exista, os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear paramétrico em com parâmetro :
O conteúdo principal é Álgebra Linear: usaremos o determinante da matriz de coeficientes para ver quando o sistema é único (matriz invertível) e, se for singular, comparar o posto da matriz com o posto da matriz aumentada para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.
Se det(A)neq0, ou seja kneq3, então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.
Passo 4
Se k=3, então det(A)=0 e a matriz fica singular. Para ver se há soluções ou não, analisamos a dependência linear entre as equações. Quando k=3, as três linhas de A satisfazem
R3 = -,R1 + R2
No lado direito, os termos independentes são (2,k,1)=(2,3,1) e obedecem à mesma combinação
1 = -,2 + 3
Como a relação de dependência vale tanto para os coeficientes quanto para os termos independentes, o posto da matriz aumentada continua 2 e o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.
Passo 5
Não há nenhum valor de k que torne o sistema incompatível (nenhuma solução), pois a única singularidade ocorre em k=3 e aí o sistema é compatível.
Resposta
(i) k neq 3
(ii) k = 3
(iii) não existe valor de k que dê nenhuma solução.