Resolva os seguintes sistemas utilizando a Regra de Cramer:
2 x+3 y-z & =1 3 x+5 y+2 z & =8 x-2 y-3 z & =-1

Passo 1

O enunciado dá o sistema
2x + 3y - z = 1, 3x + 5y + 2z = 8, x - 2y - 3z = -1,
e pede a solução usando a Regra de Cramer. Para isso precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes, D, e os determinantes Dx, Dy e Dz obtidos ao substituir, respectivamente, a coluna de x, de y e de z pelos termos independentes.

Passo 2

Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes
A = 2 & 3 & -1 3 & 5 & 2 1 & -2 & -3
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores,
D = 25 & 2 -2 & -3 -33 & 2 1 & -3 -13 & 5 1 & -2
Calculando cada menor:
5 & 2 -2 & -3 &= 5cdot(-3) - 2cdot(-2) = -15 +4 = -11, 3 & 2 1 & -3 &= 3cdot(-3) - 2cdot1 = -9 -2 = -11, 3 & 5 1 & -2 &= 3cdot(-2) - 5cdot1 = -6 -5 = -11
Logo,
D = 2(-11) - 3(-11) - 1(-11) = -22 +33 +11 = 22

Passo 3

Calcular Dx substituindo a primeira coluna de A pelos termos independentes (1,8,-1):
Dx = 1 & 3 & -1 8 & 5 & 2 -1 & -2 & -3 = 15 & 2 -2 & -3 -38 & 2 -1 & -3 -18 & 5 -1 & -2
Usando os menores já calculados e novos:
5 & 2 -2 & -3 &= -11, 8 & 2 -1 & -3 &= 8(-3) - 2(-1) = -24 +2 = -22, 8 & 5 -1 & -2 &= 8(-2) - 5(-1) = -16 +5 = -11,
portanto
Dx = 1(-11) - 3(-22) -1(-11) = -11 +66 +11 = 66
Assim
x = DxD = 6622 = 3

Passo 4

Calcular Dy substituindo a segunda coluna de A pelos termos independentes:
Dy = 2 & 1 & -1 3 & 8 & 2 1 & -1 & -3 = 28 & 2 -1 & -3 -13 & 2 1 & -3 -13 & 8 1 & -1
Já temos
8 & 2 -1 & -3 = -22, 3 & 2 1 & -3 = -11,
e
3 & 8 1 & -1 = 3(-1) - 8(1) = -3 -8 = -11
Logo
Dy = 2(-22) -1(-11) -1(-11) = -44 +11 +11 = -22,
de onde
y = DyD = -2222 = -1

Passo 5

Calcular Dz substituindo a terceira coluna de A pelos termos independentes:
Dz = 2 & 3 & 1 3 & 5 & 8 1 & -2 & -1 = 25 & 8 -2 & -1 -33 & 8 1 & -1 +13 & 5 1 & -2
Calculamos
5 & 8 -2 & -1 = 5(-1) - 8(-2) = -5 +16 = 11,
e já sabíamos
3 & 8 1 & -1 = -11, 3 & 5 1 & -2 = -11
Portanto
Dz = 2cdot11 -3(-11) +1(-11) = 22 +33 -11 = 44,
e
z = DzD = 4422 = 2

Passo 6

Reunindo os valores encontrados,
(x,y,z) = (3,,-1,,2)

Resposta

(x,y,z) = (3,-1,2).

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