Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado seja compatível.
rl-4 x+3 y & =2 5 x-4 y & =0 2 x-y & =k,

Passo 1

O enunciado pede os valores de k para que o sistema
-4x + 3y = 2 5x - 4y = 0 2x - y = k
seja compatível. O conteúdo aqui é o estudo de compatibilidade de sistemas lineares e vamos usar o teorema de Rouché–Frobenius, que exige que o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz aumentada coincidam.

Passo 2

Verificamos que a submatriz 2times2 formada pelos coeficientes das duas primeiras equações tem determinante
De<a = (-4)(-4) - 3cdot5 = 1 neq 0
Como De<a neq 0, essas equações são independentes e definem um único par (x,y).

Passo 3

Resolvendo
-4x + 3y = 2 5x - 4y = 0
vemos que
x = 45y
e substituindo em -4x + 3y = 2 chega-se a
-165y + 3y = 2
-15y = 2
y = -10
Logo x = -8.

Passo 4

Para compatibilidade, o par (x,y)=(-8,-10) deve satisfazer
2x - y = k
Substituindo obtém-se
2(-8) -(-10) = -6
Logo k = -6.

Resposta

-6

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