(2,0) Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais ao gráfico da função
f(x)=1+1000 sen(x)x
Vamos determinar inicialmente se existem assíntotas horizontais, ou seja se existem:
lim x infty f(x)=lim x infty 1+1000 sen(x)x
e
lim x -infty f(x)=lim x -infty 1+1000 sen(x)x
No caso x infty, temos x>0 e então
-1 <= sen x <= 1 & Rightarrow-1000 <= 1000 sen x <= 1000 & Rightarrow-999 <= 1+1000 sen x <= 1001 Rightarrow -999x <= 1+1000 sen xx <= 1001x
Como lim x infty-999x=lim x infty 1001x=0, o Teorema do Confronto nos assegura que
lim x infty 1+1000 sen(x)x=0
Logo, a reta y=0 é a uma assíntota horizontal.
No caso x -infty, temos x<0 e então
-1 <= sen x <= 1 & Rightarrow-1000 <= 1000 sen x <= 1000 & Rightarrow-999 <= 1+1000 sen x <= 1001 Rightarrow -999x >= 1+1000 sen xx >= 1001x
Como lim x infty-999x=lim x infty 1001x=0, o Teorema do Confronto nos assegura que
lim x -infty 1+1000 sen(x)x=0
Portanto, a reta y=0 é a única assíntota horizontal.
Vamos determinar agora as assíntotas verticais. Se existir assíntota vertical terá que ser x=0, pois f é contínua em R backslash0.
Vamos analisar o limite lateral à direita, por exemplo:
lim x 0^+ f(x)=lim x 0^+ 1+1000 sen(x)x stackrel10^+=+infty
Assim, a reta x=0 é a única assíntota vertical.
Nota: alternativamente, poderíamos ter concluído que x=0 é assíntota vertical pelo limite à esquerda
lim x 0^- f(x)=lim x 0^- 1+1000 sen(x)x stackrel10^-=-infty

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1+1000sen(x)x
e pede para encontrar as assíntotas horizontais (limites em xtopminfty) e as assíntotas verticais (limites em torno de pontos onde f não é contínua). Vamos usar propriedades de limite, o Teorema do Confronto para horizontais e exame de limite infinito para verticais.

Passo 2

Para assíntotas horizontais investigamos
limxtoinftyf(x) e limxto-inftyf(x)
Como -1<=sen(x)<=1, temos
-1000<=1000sen(x)<=1000 ;Rightarrow; -999<=1+1000sen(x)<=1001
Para xtoinfty (com x>0) divide-se toda a desigualdade por x:
-999x<=1+1000sen(x)x<=1001x
Como
limxtoinfty-999x = limxtoinfty1001x = 0,
o Teorema do Confronto dá
limxtoinftyf(x)=0
Para xto-infty (com x<0) o mesmo raciocínio, mas invertendo a desigualdade ao dividir por número negativo, também leva a
limxto-inftyf(x)=0
Logo existe uma assíntota horizontal comum
y=0

Passo 3

Para assíntota vertical, note que o único ponto de descontinuidade é x=0. Analisamos os limites laterais:
  1. xto0^+: como sen(x)to0, o numerador tende a 1 e o denominador a 0^+, logo
limxto0^+f(x) = limxto0^+1+1000sen(x)x =+infty
  1. xto0^-: de modo análogo o numerador tende a 1 e o denominador a 0^-, logo
limxto0^-f(x) = -infty
Como um dos limites laterais diverge para infinito, x=0 é assíntota vertical.

Resposta

A única assíntota horizontal é
y=0
e a única assíntota vertical é
x=0

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