Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais ao gráfico da função
Vamos determinar inicialmente se existem assíntotas horizontais, ou seja se existem:
e
No caso
, temos
e então
Como
, o Teorema do Confronto nos assegura que
Logo, a reta
é a uma assíntota horizontal.
No caso
, temos
e então
Como
, o Teorema do Confronto nos assegura que
Portanto, a reta
é a única assíntota horizontal.
Vamos determinar agora as assíntotas verticais. Se existir assíntota vertical terá que ser
, pois
é contínua em
.
Vamos analisar o limite lateral à direita, por exemplo:
Assim, a reta
é a única assíntota vertical.
Nota: alternativamente, poderíamos ter concluído que
é assíntota vertical pelo limite à esquerda
No caso
Vamos determinar agora as assíntotas verticais. Se existir assíntota vertical terá que ser
Nota: alternativamente, poderíamos ter concluído que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as assíntotas horizontais (limites em
) e as assíntotas verticais (limites em torno de pontos onde
não é contínua). Vamos usar propriedades de limite, o Teorema do Confronto para horizontais e exame de limite infinito para verticais.
Passo 2
Para assíntotas horizontais investigamos
Como
, temos
Para
(com
) divide-se toda a desigualdade por
:
Como
o Teorema do Confronto dá
Para
(com
) o mesmo raciocínio, mas invertendo a desigualdade ao dividir por número negativo, também leva a
Logo existe uma assíntota horizontal comum
Passo 3
Para assíntota vertical, note que o único ponto de descontinuidade é
. Analisamos os limites laterais:
-
: como , o numerador tende a e o denominador a , logo
-
: de modo análogo o numerador tende a e o denominador a , logo
Como um dos limites laterais diverge para infinito,
é assíntota vertical.
Resposta
A única assíntota horizontal é
e a única assíntota vertical é