Determine, caso existam, os limites a seguir:
lim x -infty -4 raizx^2+2 x+1raiz9 x^2+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -infty -4 raizx^2+2 x+1raiz9 x^2+5
Esse exercício pertence ao conteúdo de limites, mais especificamente limites no infinito com funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando $ x $ cresce sem limite negativo e simplificar as expressões dentro das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as expressões dentro das raízes quadradas. Quando $ x $ tende a x , os termos de maior grau (aqui, $ x^2 $) dominam. Então, dentro de $ \sqrt{x^{2}+2x+1} $, o $ x^2 $ é o termo que mais pesa, e o mesmo vale para $ \sqrt{9x^{2}+5} $.

Passo 3

Vamos simplificar as raízes extraindo o termo de maior grau:
raizx^2+2x+1 = raizx^2(1 + 2x + 1x^2) = |x|raiz1 + 2x + 1x^2
raiz9x^2+5 = raiz9x^2(1 + 59x^2) = 3|x|raiz1 + 59x^2
Como $ x $ está indo para x , $ |x| = -x $ porque $ x $ é negativo.

Passo 4

Substituindo $ |x| $ por |x| nas expressões simplificadas:
-x
Os termos $ x $ se cancelam:
-4 raizx^2+2x+1raiz9x^2+5 = -4 (-x) raiz1 + 2x + 1x^23 (-x) raiz1 + 59x^2 = 4x raiz1 + 2x + 1x^2-3x raiz1 + 59x^2

Passo 5

Agora, vamos considerar o que acontece quando $ x $ tende a x . Os termos -infty, 2x e 1x^2 vão para zero. Assim:
59x^2
Então, a expressão simplifica para:
raiz1 + 0 + 0 = 1 e raiz1 + 0 = 1

Resposta

lim x -infty -4 raizx^2+2 x+1raiz9 x^2+5 = -43

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