Determine, caso existam, os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício pertence ao conteúdo de limites, mais especificamente limites no infinito com funções envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando $ x $ cresce sem limite negativo e simplificar as expressões dentro das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as expressões dentro das raízes quadradas. Quando $ x $ tende a
, os termos de maior grau (aqui, $ x^2 $) dominam. Então, dentro de $ \sqrt{x^{2}+2x+1} $, o $ x^2 $ é o termo que mais pesa, e o mesmo vale para $ \sqrt{9x^{2}+5} $.
Passo 3
Vamos simplificar as raízes extraindo o termo de maior grau:
Como $ x $ está indo para
, $ |x| = -x $ porque $ x $ é negativo.
Passo 4
Substituindo $ |x| $ por
nas expressões simplificadas:
Os termos $ x $ se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos considerar o que acontece quando $ x $ tende a
. Os termos
,
e
vão para zero. Assim:
Então, a expressão simplifica para: