Determine, caso existam, os limites a seguir:
operatorname l i m x 2 | 3 x - 6 | x ^ 2 - 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite quando $ x $ se aproxima de 2 da expressão $ \frac{,|,3x - 6,|,}{x^{2} - 4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, valor absoluto e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador e no denominador. Observamos que:
3x - 6 = 3(x - 2)
Então, o valor absoluto fica:
|,3x - 6,| = |,3(x - 2),| = 3|,x - 2,|

Passo 3

Agora, no denominador temos $ x^{2} - 4 $, que é uma diferença de quadrados. Podemos fatorar assim:
x^2 - 4

Passo 4

Substituindo as simplificações na expressão original, temos:
,|,3x - 6,|,x^2 - 4 = 3|,x - 2,|(x - 2)(x + 2)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da expressão quando $ x $ se aproxima de 2. O termo $ x - 2 $ no denominador tende a zero, o que pode causar uma indeterminação. Para resolver isso, vamos considerar os limites laterais, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^{-} x x \to 2^{+} $).

Passo 6

Quando $ x \to 2^{+} $:
  • $ x - 2 $ é positivo, então $ |,x - 2,| = x - 2 $.
  • A expressão fica:
x to 2^+
  • Substituindo $ x = 2 $:
x - 2
Quando $ x \to 2^{-} $:
  • $ x - 2 $ é negativo, então $ |,x - 2,| = -(x - 2) = 2 - x $.
  • A expressão fica:
|,x - 2,| = x - 2
  • Substituindo $ x = 2 $:
3(x - 2)(x - 2)(x + 2) = 3x + 2

Passo 7

Os limites laterais são diferentes:
  • $ \lim_{x \to 2^{+}} \frac{,|,3x - 6,|,}{x^{2} - 4} = \frac{3}{4} $
  • $ \lim_{x \to 2^{-}} \frac{,|,3x - 6,|,}{x^{2} - 4} = -\frac{3}{4} $
Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O limite $ \lim_{x \to 2} \frac{,|,3x - 6,|,}{x^{2} - 4} $ não existe.

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