Determine, caso existam, os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite quando $ x $ se aproxima de 2 da expressão $ \frac{,|,3x - 6,|,}{x^{2} - 4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, valor absoluto e fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador e no denominador. Observamos que:
Então, o valor absoluto fica:
Passo 3
Agora, no denominador temos $ x^{2} - 4 $, que é uma diferença de quadrados. Podemos fatorar assim:
Passo 4
Substituindo as simplificações na expressão original, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da expressão quando $ x $ se aproxima de 2. O termo $ x - 2 $ no denominador tende a zero, o que pode causar uma indeterminação. Para resolver isso, vamos considerar os limites laterais, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^{-}
x \to 2^{+} $).
Passo 6
Quando $ x \to 2^{+} $:
- $ x - 2 $ é positivo, então $ |,x - 2,| = x - 2 $.
- A expressão fica:
- Substituindo $ x = 2 $:
Quando $ x \to 2^{-} $:
- $ x - 2 $ é negativo, então $ |,x - 2,| = -(x - 2) = 2 - x $.
- A expressão fica:
- Substituindo $ x = 2 $:
Passo 7
Os limites laterais são diferentes:
- $ \lim_{x \to 2^{+}} \frac{,|,3x - 6,|,}{x^{2} - 4} = \frac{3}{4} $
- $ \lim_{x \to 2^{-}} \frac{,|,3x - 6,|,}{x^{2} - 4} = -\frac{3}{4} $
Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais, o limite geral não existe.
Resposta
O limite $ \lim_{x \to 2} \frac{,|,3x - 6,|,}{x^{2} - 4} $ não existe.