(1,0 pto) Considere as funções f(x)=ln (x), g(x)=-x^2-3 x-2 e h(x)=(f circ g)(-x). Determine o domínio da função h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem três funções aí: $ f(x) = \ln(x) $, $ g(x) = -x^2 - 3x - 2 $ e $ h(x) = (f \circ g)(-x) $. A missão é descobrir qual é o domínio da função $ h $. Ou seja, queremos saber para quais valores de $ x $ a função $ h(x) $ está bem definida. Para isso, vamos precisar saber sobre composição de funções e o domínio das funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ h(x) = (f \circ g)(-x) $. Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função $ g $ em $ -x $ e depois aplicar a função $ f $ no resultado. Ou seja, $ h(x) = f(g(-x)) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ g(-x) $. Substituindo $ -x $ na função $ g $:
g(-x)
Resolvendo:
-x

Passo 4

A próxima etapa é aplicar a função $ f $ no resultado de $ g(-x) $. Como $ f(x) = \ln(x) $, temos:
f

Passo 5

Para que $ h(x) $ esteja bem definida, o argumento do logaritmo precisa ser positivo. Portanto, precisamos que:
h(x)

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade:
- x^2 + 3x - 2 > 0 Rightarrow x^2 - 3x + 2 < 0
Fatorando o polinômio:
(x - 1)(x - 2) < 0

Passo 7

Para resolver $ (x - 1)(x - 2) < 0 $, vamos analisar os intervalos definidos pelas raízes $ x = 1 $ e $ x = 2 $:
  1. Intervalo $ x < 1 $: Escolha $ x = 0 $:
    (x - 1)(x - 2) < 0 ã
  2. Intervalo $ 1 < x < 2 $: Escolha $ x = 1.5 $:
    x = 1
  3. Intervalo $ x > 2 $: Escolha $ x = 3 $:
    x = 2 ã
Portanto, a solução da desigualdade é $ 1 < x < 2 $.

Resposta

O domínio de $ h $ é $ 1 < x < 2 $.

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