(1,0 pto) Considere as funções
e
. Determine o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem três funções aí: $ f(x) = \ln(x) $, $ g(x) = -x^2 - 3x - 2 $ e $ h(x) = (f \circ g)(-x) $. A missão é descobrir qual é o domínio da função $ h $. Ou seja, queremos saber para quais valores de $ x $ a função $ h(x) $ está bem definida. Para isso, vamos precisar saber sobre composição de funções e o domínio das funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ h(x) = (f \circ g)(-x) $. Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função $ g $ em $ -x $ e depois aplicar a função $ f $ no resultado. Ou seja, $ h(x) = f(g(-x)) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ g(-x) $. Substituindo $ -x $ na função $ g $:
Resolvendo:
Passo 4
A próxima etapa é aplicar a função $ f $ no resultado de $ g(-x) $. Como $ f(x) = \ln(x) $, temos:
Passo 5
Para que $ h(x) $ esteja bem definida, o argumento do logaritmo precisa ser positivo. Portanto, precisamos que:
Passo 6
Vamos resolver essa desigualdade:
Fatorando o polinômio:
Passo 7
Para resolver $ (x - 1)(x - 2) < 0 $, vamos analisar os intervalos definidos pelas raízes $ x = 1 $ e $ x = 2 $:
-
Intervalo $ x < 1 $: Escolha $ x = 0 $:
-
Intervalo $ 1 < x < 2 $: Escolha $ x = 1.5 $:
-
Intervalo $ x > 2 $: Escolha $ x = 3 $:
Portanto, a solução da desigualdade é $ 1 < x < 2 $.
Resposta
O domínio de $ h $ é $ 1 < x < 2 $.