Seja f:[0, infty) R uma função que admite transformada de Laplace. Mostre que:
Se f, f^prime, f^prime prime, f^(3), cdots, f^(n-1) são seccionalmente contínuas em [0, infty) e de ordem exponencial e se f^(n) for seccionalmente contínua por partes em [0, infty) então
L[f^(n)(t)]=s^n cdot F(s)-s^(n-1) cdot f(0)-s^(n-2) cdot f^prime(0)-cdots-s cdot f^(n-2)(0)-f^(n-1)(0),
onde L[f(t)]=F(s).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula geral da transformada de Laplace da n-ésima derivada de uma função f que satisfaz condições de regularidade (seccionalmente contínua e de ordem exponencial). Vamos usar definição da transformada, integração por partes e indução.

Passo 2

A transformada de Laplace de f⁽ⁿ⁾ é definida por
L[f^(n)(t)] = integral0^infty e^-st , f^(n)(t) , dt

Passo 3

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = e^{-st}, \quad dv = f^{(n)}(t) , dt.
Então
du = -s , e^{-st} , dt, \quad v = f^{(n-1)}(t).
Isso dá
integral0^infty e^-st f^(n)(t) , dt = , e^-st f^(n-1)(t) |0^infty + s integral0^infty e^-st f^(n-1)(t) , dt

Passo 4

Pelas hipóteses de ordem exponencial e continuidade por partes, temos
limttoinfty e^-st f^(n-1)(t) = 0
e em t=0 o termo vale f^{(n-1)}(0). Assim
L[f^(n)] = -f^(n-1)(0) + s L[f^(n-1)]

Passo 5

Isso mostra o caso base (n=1) e nos dá a relação de recorrência
L[f^(k+1)] = s L[f^(k)] - f^(k)(0)

Passo 6

Agora usamos indução. Suponha que para algum k≥1 valha
L[f^(k)] = s^k F(s) - l(s^k-1f(0) + s^k-2f'(0) + cdots + f^(k-1)(0)r)
Então
L[f^(k+1)] = s L[f^(k)] - f^(k)(0) = s^k+1F(s) - l(s^kf(0) + cdots + s f^(k-1)(0) + f^(k)(0)r)
ocorre com a forma desejada para k+1.

Passo 7

Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo n natural respeitando as condições dadas.

Resposta

L[f^(n)(t)] = s^nF(s) - s^n-1f(0) - s^n-2f'(0) - cdots - s f^(n-2)(0) - f^(n-1)(0)

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