Seja
uma função que admite transformada de Laplace. Mostre que:
Se
são seccionalmente contínuas em
e de ordem exponencial e se
for seccionalmente contínua por partes em
então
onde
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a fórmula geral da transformada de Laplace da n-ésima derivada de uma função f que satisfaz condições de regularidade (seccionalmente contínua e de ordem exponencial). Vamos usar definição da transformada, integração por partes e indução.
Passo 2
A transformada de Laplace de f⁽ⁿ⁾ é definida por
Passo 3
Aplicamos integração por partes escolhendo
u = e^{-st}, \quad dv = f^{(n)}(t) , dt.
Então
du = -s , e^{-st} , dt, \quad v = f^{(n-1)}(t).
Isso dá
u = e^{-st}, \quad dv = f^{(n)}(t) , dt.
Então
du = -s , e^{-st} , dt, \quad v = f^{(n-1)}(t).
Isso dá
Passo 4
Pelas hipóteses de ordem exponencial e continuidade por partes, temos
e em t=0 o termo vale f^{(n-1)}(0). Assim
Passo 5
Isso mostra o caso base (n=1) e nos dá a relação de recorrência
Passo 6
Agora usamos indução. Suponha que para algum k≥1 valha
Então
ocorre com a forma desejada para k+1.
Passo 7
Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo n natural respeitando as condições dadas.