V=pi24 d^2 raiz4 s^2-d^2
onde s é a altura inclinada e d é o diâmetro da base.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a s se d permanecer constante.

Passo 1

O problema pede para achar a taxa de variação instantânea de V em relação a s, mantendo d constante. O conteúdo envolve derivadas de função composta e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos V de forma a destacar a parte que será derivada:
[
V = \frac{\pi d2}{24},(4s2 - d2){1/2}
]

Passo 3

Em seguida, lembramos que a regra da cadeia para h(s) = (g(s))^1/2 diz:
[
h’(s) = \tfrac{1}{2}g(s)^{-1/2},g’(s)
]

Passo 4

Agora aplicamos essa regra ao nosso V. Definimos g(s)=4s^2-d^2, cuja derivada é g'(s)=8s. Logo:
[\frac{dV}{ds} = \frac{\pi d2}{24}\cdot\frac12,(4s2-d2){-1/2}\cdot(8s)
]

Passo 5

Por fim, simplificamos os coeficientes constantes:
[\frac{\pi d^2}{24}\cdot\frac12\cdot8s = \frac{4\pi d^2 s}{24} = \frac{\pi d^2 s}{6}
]
Assim obtemos a expressão final para dfracdVds.

Resposta

dfracpi d^2 s6raiz4s^2 - d^2

Exercícios relacionados