onde
é a altura inclinada e
é o diâmetro da base.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
permanecer constante.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Passo 1
O problema pede para achar a taxa de variação instantânea de
em relação a
, mantendo
constante. O conteúdo envolve derivadas de função composta e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos
de forma a destacar a parte que será derivada:
[
V = \frac{\pi d2}{24},(4s2 - d2){1/2}
]
[
V = \frac{\pi d2}{24},(4s2 - d2){1/2}
]
Passo 3
Em seguida, lembramos que a regra da cadeia para
diz:
[
h’(s) = \tfrac{1}{2}g(s)^{-1/2},g’(s)
]
[
h’(s) = \tfrac{1}{2}g(s)^{-1/2},g’(s)
]
Passo 4
Agora aplicamos essa regra ao nosso
. Definimos
, cuja derivada é
. Logo:
[\frac{dV}{ds} = \frac{\pi d2}{24}\cdot\frac12,(4s2-d2){-1/2}\cdot(8s)
]
[\frac{dV}{ds} = \frac{\pi d2}{24}\cdot\frac12,(4s2-d2){-1/2}\cdot(8s)
]
Passo 5
Por fim, simplificamos os coeficientes constantes:
[\frac{\pi d^2}{24}\cdot\frac12\cdot8s = \frac{4\pi d^2 s}{24} = \frac{\pi d^2 s}{6}
]
Assim obtemos a expressão final para .
[\frac{\pi d^2}{24}\cdot\frac12\cdot8s = \frac{4\pi d^2 s}{24} = \frac{\pi d^2 s}{6}
]
Assim obtemos a expressão final para