Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim x 1 x^4-1x^3-1

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto1x^4-1x^3-1. O conteúdo é de cálculo de limites e vamos usar fatoração de diferença de potências para tratar a indeterminação.

Passo 2

Vamos tentar a substituição direta de x=1. Temos numerador 1^4-1=0 e denominador 1^3-1=0, ou seja, forma indeterminada 0/0. Precisamos de um método para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Usamos a fatoração de diferença de potências: para todo n, x^n-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+cdots+1). Isso nos permite expressar cada diferença como produto envolvendo x-1.

Passo 4

Fatorando numerador e denominador, temos:
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1),
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
Podemos então simplificar o fator comum (x-1).

Passo 5

Após o cancelamento, o quociente fica:
x^4-1x^3-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x-1)(x^2+x+1)=(x+1)(x^2+1)x^2+x+1
Agora substituímos x=1.

Passo 6

Substituindo x=1 na expressão simplificada, obtemos:
(1+1)(1^2+1)1^2+1+1=2cdot23=43

Passo 7

Portanto, o limite existe e é igual a 4/3.

Resposta

tfrac43

Exercícios relacionados