Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados
(a)
em
;
(a)
Passo 1
Temos a função f(x)=4x−3 e queremos mostrar que ela é contínua em p=2 usando a definição formal de limite (ε–δ) de continuidade.
Passo 2
A definição formal de continuidade em x=2 diz: dado ε>0, deve existir δ>0 tal que, sempre que |x−2|<δ, tenhamos |f(x)−f(2)|<ε.
Passo 3
Vamos calcular primeiro f(2). Temos
f(2)=4·2−3=5
Logo,
|f(x)−f(2)|=|4x−3−5|=|4x−8|=4|x−2|.
f(2)=4·2−3=5
Logo,
|f(x)−f(2)|=|4x−3−5|=|4x−8|=4|x−2|.
Passo 4
Para garantir que |f(x)−f(2)|<ε basta exigir 4|x−2|<ε. Assim, escolhemos
δ=ε/4
Então, sempre que |x−2|<δ temos
|f(x)−f(2)|=4|x−2|<4·(ε/4)=ε
Isso completa a prova de continuidade em p=2.
δ=ε/4
Então, sempre que |x−2|<δ temos
|f(x)−f(2)|=4|x−2|<4·(ε/4)=ε
Isso completa a prova de continuidade em p=2.
Resposta
A função f(x)=4x−3 é contínua em p=2.