Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim x -2 x^2-4raizx^2+5-3

Passo 1

O problema pede para calcular o limite limxto -2x^2-4raizx^2+5-3. O conteúdo aqui é limites de funções que geram indeterminação do tipo 0/0, e vamos precisar usar a técnica de racionalização do denominador.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição direta de x=-2: numerador (-2)^2-4=0 e denominador raiz(-2)^2+5-3=raiz9-3=0. Como obtemos 0/0, temos uma indeterminação e não podemos concluir o valor do limite assim.

Passo 3

Para resolver a indeterminação 0/0, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é raizx^2+5+3. Isso se chama racionalizar o denominador.

Passo 4

Após multiplicar, obtemos:
x^2-4raizx^2+5-3cdotraizx^2+5+3raizx^2+5+3 = (x^2-4)l(raizx^2+5+3r)(raizx^2+5-3)(raizx^2+5+3)
No denominador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(raizx^2+5)^2 - 3^2 = x^2+5 - 9 = x^2-4
Então a expressão fica
(x^2-4)(raizx^2+5+3)x^2-4
Como estamos interessados em xto -2 (e x^2-4neq0 para xneqpm2), podemos cancelar x^2-4.

Passo 5

A expressão simplificada é raizx^2+5+3. Agora basta calcular o limite por substituição direta:
limxto -2l(raizx^2+5+3r) = raiz(-2)^2+5 + 3 = raiz9 + 3 = 3 + 3 = 6

Resposta

6

Exercícios relacionados