Exercício 5. Encontre uma equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x0, f(x0)) :
y=4 sen^2(x), x0=pi / 6

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = f(x) = 4sin^2(x)
no ponto l(x0,f(x0)r) com x0 = pi/6.
Para isso vamos usar a fórmula da reta tangente
y - f(x0) = f'(x0),(x - x0),
logo precisamos de f'(x) e de f(x0).

Passo 2

Calculamos f'(x) aplicando regra da cadeia em f(x)=4sin^2(x):
f'(x)=4cdot ddxl(sin^2(x)r) =4cdot l(2sin(x)cos(x)r) =8sin(x)cos(x)
Usando a identidade sin(2x)=2sin(x)cos(x), podemos ainda escrever
f'(x)=4sin(2x)

Passo 3

Agora avaliamos em x0=pi/6.
Primeiro
f(x0)=4sin^2!l(tfracpi6r) =4l(tfrac12r)^2 =1
Em seguida
f'(x0)=8sin!l(tfracpi6r)cos!l(tfracpi6r) =8cdottfrac12cdottfracraiz32 =2raiz3

Passo 4

Substituindo na fórmula da reta tangente:
y - 1 = 2raiz3,l(x - tfracpi6r)
Se preferir colocar em forma explícita, basta desenvolver:
y = 2raiz3,x - 2raiz3cdottfracpi6 + 1 =2raiz3,x - tfracpiraiz33 + 1

Resposta

boxedy - 1 = 2raiz3,(x - tfracpi6)
ou, equivalentemente,
boxedy = 2raiz3,x - tfracpiraiz33 + 1

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