Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim x 0 sen(x^2)(e^x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede
limxto0senl(x^2r)l(e^x-1r)^2
O conteúdo aqui é cálculo de limites de tipo tfrac00. Vamos usar a expansão em série de Taylor de sen(x) e de e^x para obter o comportamento principal de numerador e denominador quando xto0.

Passo 2

Expandimos sen(x^2) em torno de x=0. Como sen(u)=u-tfracu^36+cdots, para u=x^2 temos
senl(x^2r) = x^2-(x^2)^36+cdots = x^2-x^66+cdots

Passo 3

Expandimos e^x-1. Como e^x=1+x+tfracx^22+cdots,
e^x-1 = x+x^22+x^36+cdots
Então
l(e^x-1r)^2 =l(x+x^22+cdotsr)^2 =x^2+x^3+cdots

Passo 4

Para xto0, as parcelas de ordem superior cdots são desprezíveis, logo
sen(x^2)l(e^x-1r)^2 sim x^2x^2=1
Portanto, o limite vale 1.

Resposta

1

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