Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim x 4 raiz3 x-8-2raizx-2-raiz2

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x→4 de uma expressão com raízes. O conteúdo é limites que resultam em forma indeterminada 0/0 e vamos precisar da técnica de racionalização de radicais para simplificar.

Passo 2

Antes de tudo, fazemos a substituição direta x=4 para ver que tipo de indeterminação temos. Numerador: √(3·4−8)−2=√4−2=2−2=0. Denominador: √(4−2)−√2=√2−√2=0. De fato temos 0/0, então é indeterminado e precisamos racionalizar.

Passo 3

Para eliminar as raízes, multiplicamos numerador e denominador pelo produto dos seus conjugados, ou seja, por (√(3x−8)+2)(√(x−2)+√2). Assim:
Começamos pelo numerador:
(raiz3x-8-2)(raiz3x-8+2)(raizx-2+raiz2)=l((3x-8)-4r)(raizx-2+raiz2)=3(x-4)(raizx-2+raiz2)
E o denominador:
(raizx-2-raiz2)(raizx-2+raiz2)(raiz3x-8+2)=(x-4)(raiz3x-8+2)
Assim a expressão vira
3(x-4)(raizx-2+raiz2)(x-4)(raiz3x-8+2)=3(raizx-2+raiz2)raiz3x-8+2

Passo 4

Agora substituímos x=4 nessa forma simplificada:
3(raiz4-2+raiz2)raiz3·4-8+2=3(raiz2+raiz2)2+2=3·2raiz24=3raiz22

Resposta

tfrac3raiz22

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