Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando x→4 de uma expressão com raízes. O conteúdo é limites que resultam em forma indeterminada 0/0 e vamos precisar da técnica de racionalização de radicais para simplificar.
Passo 2
Antes de tudo, fazemos a substituição direta x=4 para ver que tipo de indeterminação temos. Numerador: √(3·4−8)−2=√4−2=2−2=0. Denominador: √(4−2)−√2=√2−√2=0. De fato temos 0/0, então é indeterminado e precisamos racionalizar.
Passo 3
Para eliminar as raízes, multiplicamos numerador e denominador pelo produto dos seus conjugados, ou seja, por (√(3x−8)+2)(√(x−2)+√2). Assim:
Começamos pelo numerador:
Começamos pelo numerador:
E o denominador:
Assim a expressão vira
Passo 4
Agora substituímos x=4 nessa forma simplificada: