Dada a função f definida por f(x)=x^2+x-12x^3+x^2-14 x+6, determine:
(a) o domínio de f;
(b) f(0);
© os valores de x que satisfazem f(x)=0,
(d) a variação de sinal de f.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função racional
f(x)=x^2+x-12x^3+x^2-14x+6,
o conteúdo é análise de funções racionais. Vamos precisar fatorar numerador e denominador para achar domínio, valor em 0, raízes e variação de sinal.

Passo 2

Para fatorar o numerador e o denominador, note:
Numerador: x^2+x-12=(x+4)(x-3).
Denominador: testando raízes racionais achamos x=3. Fazendo a divisão sintética em x^3+x^2-14x+6 por x-3 obtemos o quociente x^2+4x-2. Logo
x^3+x^2-14x+6=(x-3)(x^2+4x-2)
e este último fator tem raízes x=-2pmraiz6.

Passo 3

O domínio de f é todos os x reais que não anulam o denominador. Como as raízes do denominador são
x=3, x=-2-raiz6, x=-2+raiz6,
o domínio é
Rsetminus3,,-2-raiz6,,-2+raiz6

Passo 4

Para calcular f(0) basta substituir:
f(0)=0^2+0-120^3+0^2-14cdot0+6=-126=-2

Passo 5

As raízes de f vêm de f(x)=0 se e somente se o numerador se anula (e o denominador não). Temos (x+4)(x-3)=0, ou seja, x=-4 ou x=3, mas em x=3 o denominador também é zero, então f não está definida lá. A única raiz válida é
x=-4

Passo 6

Para estudar o sinal de f(x), observe que podemos cancelar o fator x-3 em numerador e denominador, ficando
f(x)=x+4x^2+4x-2, xneq3
O denominador cancelado x^2+4x-2 tem raízes r1=-2-raiz6approx-4.449 e r2=-2+raiz6approx0.449. Montando o quadro de sinais de x+4 e x^2+4x-2 sobre os intervalos:
(-∞, r₁): numerador <0, denominador >0 f<0;
(r₁, -4): numerador <0, denominador <0 f>0;
(-4, r₂): numerador >0, denominador <0 f<0;
(r₂, ∞): numerador >0, denominador >0 f>0.
Note que em x=3 há furo, mas o sinal não muda.

Passo 7

Resposta

Domínio: Rsetminus3,,-2-raiz6,,-2+raiz6;
f(0)= -2;
Única raiz: x=-4;
Sinal de f: negativa em (-2-raiz6, -4), positiva em (-4, -2+raiz6), negativa em (-2+raiz6, ∞) e positiva em x=3, com furo em .

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