Estude a variação de sinal (f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0) das seguintes funções:
f(x)=x^2-5 x+6x^2-16

Passo 1

Temos a função racional f(x)=x^2-5x+6x^2-16. O objetivo é estudar onde f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0. O conteúdo aqui é estudo de sinais de função racional: precisamos fatorar numerador e denominador para achar zeros e polos e depois analisar os intervalos resultantes.

Passo 2

Fatorando numerador e denominador, obtemos:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
x^2-16=(x-4)(x+4)

Passo 3

As raízes do numerador são x=2 e x=3, onde f(x)=0. As raízes do denominador são x=-4 e x=4, onde f não está definida (polos).
O domínio de f é Rsetminus-4,4. Esses quatro pontos dividem a reta real em cinco intervalos. Vamos testar o sinal de cada fator em cada intervalo para deduzir o sinal de f.

Passo 4

Analisando cada intervalo e usando pontos-teste:
Para x<-4 (por exemplo x=-5):
(x-2)<0, (x-3)<0 ⇒ numerador >0
(x+4)<0, (x-4)<0 ⇒ denominador >0
logo f(x)>0.
Para -4 (por exemplo x=0):
(x-2)<0, (x-3)<0 ⇒ numerador >0
(x+4)>0, (x-4)<0 ⇒ denominador <0
logo f(x)<0.
Para 2 (por exemplo x=2.5):
(x-2)>0, (x-3)<0 ⇒ numerador <0
denominador em (-4,4) é <0
logo f(x)>0.
Para 3 (por exemplo x=3.5):
(x-2)>0, (x-3)>0 ⇒ numerador >0
denominador em (-4,4) é <0
logo f(x)<0.
Para x>4 (por exemplo x=5):
(x-2)>0, (x-3)>0 ⇒ numerador >0
(x+4)>0, (x-4)>0 ⇒ denominador >0
logo f(x)>0.

Resposta

f(x)>0 para x\in(-\infty,-4)\cup(2,3)\cup(4,\infty); f(x)=0 para x=2 e x=3; f(x)<0 para x\in(-4,2)\cup(3,4).

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