Estude a variação de sinal
e
das seguintes funções:
Passo 1
Temos a função racional
. O objetivo é estudar onde
,
e
. O conteúdo aqui é estudo de sinais de função racional: precisamos fatorar numerador e denominador para achar zeros e polos e depois analisar os intervalos resultantes.
Passo 2
Fatorando numerador e denominador, obtemos:
Passo 3
As raízes do numerador são
e
, onde
. As raízes do denominador são
e
, onde
não está definida (polos).
O domínio de é
. Esses quatro pontos dividem a reta real em cinco intervalos. Vamos testar o sinal de cada fator em cada intervalo para deduzir o sinal de
.
O domínio de
Passo 4
Analisando cada intervalo e usando pontos-teste:
Para (por exemplo
):
⇒ numerador
⇒ denominador
logo .
Para (por exemplo
):
⇒ numerador
⇒ denominador
logo .
Para (por exemplo
):
⇒ numerador
denominador em é
logo .
Para (por exemplo
):
⇒ numerador
denominador em é
logo .
Para (por exemplo
):
⇒ numerador
⇒ denominador
logo .
Para
logo
Para
logo
Para
denominador em
logo
Para
denominador em
logo
Para
logo
Resposta
f(x)>0 para x\in(-\infty,-4)\cup(2,3)\cup(4,\infty); f(x)=0 para x=2 e x=3; f(x)<0 para x\in(-4,2)\cup(3,4).