Determine (caso existam) os seguintes limites:
(1,0) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \ln (x)}{x^{2}-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x)}{x^2 - 5}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites no infinito, em particular uma indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty}, e vamos usar a regra de L’Hôpital ou comparar ordens de crescimento.

Passo 2

Verificamos que, ao fazermos x \to +\infty, o numerador x \ln(x) tende a +\infty e o denominador x^2 - 5 também tende a +\infty. Portanto temos uma indeterminação \tfrac{\infty}{\infty} e podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x \ln(x)\bigr) = \ln(x) + 1,
\frac{d}{dx}\bigl(x^2 - 5\bigr) = 2x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x)}{x^2 - 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + 1}{2x}.

Passo 4

Para x muito grande, \ln(x) cresce muito mais devagar que x, então
\frac{\ln(x) + 1}{2x} \sim \frac{\ln(x)}{x} \;\longrightarrow\;0.
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\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + 1}{2x} = 0.

Resposta

0

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