Reduza a expressão \frac{1-j}{1+j} à forma a+j b.
Calcule \mathcal{I} m\left\{\frac{(1-j \sqrt{3})^{2}}{j-2}\right\}.
Observação: se z=a+j b, então \mathcal{I} m\{z\}=b

Passo 1

O enunciado pede duas coisas envolvendo números complexos:
  1. reduzir \frac{1 - j}{1 + j} à forma a + j\,b usando racionalização de denominador;
  2. calcular \Im\bigl\{\frac{(1 - j\sqrt{3})^{2}}{\,j - 2\,}\bigr\}, extraindo a parte imaginária de um quociente.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{1 - j}{1 + j} racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1 + j, que é 1 - j:
\frac{1 - j}{1 + j}\,\times\,\frac{1 - j}{1 - j} =\frac{(1 - j)^{2}}{(1 + j)(1 - j)}.

Passo 3

Calculamos numerador e denominador separadamente:
(1 - j)^{2} =1 -2j + j^{2} =1 -2j -1 =-2j,
(1 + j)(1 - j) =1 - j^{2} =1 -(-1) =2.
Logo
\frac{1 - j}{1 + j} =\frac{-2j}{2} =-j =0 + j(-1).

Passo 4

Agora, para \displaystyle \frac{(1 - j\sqrt{3})^{2}}{j - 2}, primeiro expandimos o quadrado no numerador:
(1 - j\sqrt{3})^{2} =1 -2j\sqrt{3} + (j\sqrt{3})^{2} =1 -2j\sqrt{3} + j^{2}\,3 =1 -2j\sqrt{3} -3 =-2 -2j\sqrt{3}.

Passo 5

Escrevemos o denominador como -2 + j e multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado -2 - j:
\frac{-2 -2j\sqrt{3}}{-2 + j} \times\frac{-2 - j}{-2 - j} =\frac{(-2 -2j\sqrt{3})(-2 - j)}{(-2 + j)(-2 - j)}.
No denominador:
(-2 + j)(-2 - j) =(-2)^{2} - j^{2} =4 -(-1) =5.
No numerador, expandindo:
(-2)(-2)=4,\quad (-2)(-j)=2j,\quad (-2j\sqrt{3})(-2)=4j\sqrt{3},\quad (-2j\sqrt{3})(-j)=2j^{2}\sqrt{3}=-2\sqrt{3},
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(-2 -2j\sqrt{3})(-2 - j) =(4 -2\sqrt{3}) + j(2 +4\sqrt{3}).
Dividindo por 5:
\frac{(4 -2\sqrt{3}) + j(2 +4\sqrt{3})}{5} =\frac{4 -2\sqrt{3}}{5} + j\,\frac{2 +4\sqrt{3}}{5}.

Passo 6

A parte imaginária desse número é o coeficiente de j, ou seja
\Im\Bigl\{\frac{(1 - j\sqrt{3})^{2}}{j - 2}\Bigr\} =\frac{2 +4\sqrt{3}}{5}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{1 - j}{1 + j} = -j.
b) \displaystyle \Im\Bigl\{\frac{(1 - j\sqrt{3})^{2}}{j - 2}\Bigr\} = \frac{2 +4\sqrt{3}}{5}.

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