Considere a função
, definida para
.
Determine suas assíntotas (caso existam), intervalos de crescimento e decrescimento, poutos críticos, máximos e mínimos locais (caso existam), analise a concavidade e encontre pontos de inflexão (caso existam) e, por fim, esboce o gráfico da função, destacando os elementos anteriormente obtidos.
Passo 1
O enunciado pede para estudar completamente a função
o que envolve: domínio, assíntotas, derivada primeira (crescimento/decrescimento, pontos críticos e extremos locais), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão) e, por fim, um esboço gráfico destacando tudo isso.
Passo 2
Domínio:
.
Assíntotas verticais: testar
Assíntotas verticais: testar
logo há assíntota vertical em
.
Assíntotas horizontais/oblíquas: para ,
, não há assíntota de grau 1 (linha) nem horizontal.
Assíntotas horizontais/oblíquas: para
Passo 3
Derivada primeira:
Zeros de
:
(único ponto crítico em domínio).
Sinal de : o fator
sempre; o sinal vem de
e o denominador
.
Sinal de
- Em
e em : (decrescente). - Em
: (crescente).
Classificação de: muda de negativo para positivo mínimo local em .
Valor:
Passo 4
Derivada segunda:
Zero de
:
.
Sinal de :
Sinal de
- Para
: denominador , numerador (côncavo para cima). - Para
: denominador , numerador (côncavo para baixo). - Para
: denominador , numerador (côncavo para cima).
Logo inflexão em.
Valor no ponto de inflexão:
Passo 5
Esboço do gráfico (descrição):
- Assíntota vertical em
, com quando e quando . - Em
: função decrescente, côncava para cima até , depois côncava para baixo até . Inflexão em . - Em
: decrescente e côncava para cima. - Em
: crescente e côncava para cima, com mínimo local em .
Resposta
- Assíntota vertical:
. Sem assíntotas horizontais ou oblíquas. - Crescimento/decrescimento:
- Decrescente em
. - Crescente em
. - Ponto crítico:
, mínimo local em . - Concavidade:
- Côncava para cima em
. - Côncava para baixo em
. - Ponto de inflexão:
. - Esboço: gráfico com assíntota
, inflexão em , mínimo em e comportamentos de concavidade e monotonia conforme acima.