(2,0) Considere a função f(x)=x^{2}+\frac{2}{x}, definida para x \neq 0.
Determine suas assíntotas (caso existam), intervalos de crescimento e decrescimento, poutos críticos, máximos e mínimos locais (caso existam), analise a concavidade e encontre pontos de inflexão (caso existam) e, por fim, esboce o gráfico da função, destacando os elementos anteriormente obtidos.

Passo 1

O enunciado pede para estudar completamente a função
f(x)=x^{2}+\frac{2}{x},\quad x\neq0,
o que envolve: domínio, assíntotas, derivada primeira (crescimento/decrescimento, pontos críticos e extremos locais), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão) e, por fim, um esboço gráfico destacando tudo isso.

Passo 2

Domínio: x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty).
Assíntotas verticais: testar x\to0^\pm
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\Bigl(x^2+\frac{2}{x}\Bigr)=+\infty,\quad \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty,
logo há assíntota vertical em x=0.
Assíntotas horizontais/oblíquas: para \lvert x\rvert\to\infty, f(x)\sim x^2\to+\infty, não há assíntota de grau 1 (linha) nem horizontal.

Passo 3

Derivada primeira:
f'(x)=2x-\frac{2}{x^2} =\frac{2x^3-2}{x^2} =2\,\frac{x^3-1}{x^2} =2\,(x-1)\,\frac{x^2+x+1}{x^2}.
Zeros de f': x=1 (único ponto crítico em domínio).
Sinal de f': o fator \frac{x^2+x+1}{x^2}>0 sempre; o sinal vem de x-1 e o denominador x^2>0.
  • Em (-\infty,0) e em (0,1): x-1<0 \implies f'<0 (decrescente).
  • Em (1,\infty): x-1>0 \implies f'>0 (crescente).
    Classificação de x=1: f' muda de negativo para positivo \implies mínimo local em x=1.
    Valor:
f(1)=1^2+\frac{2}{1}=3.

Passo 4

Derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(2x-2x^{-2}\Bigr) =2+4x^{-3} =\frac{2x^3+4}{x^3} =2\,\frac{x^3+2}{x^3}.
Zero de f'': x^3+2=0\implies x=-\sqrt[3]{2}.
Sinal de f'':
  • Para x>0: denominador >0, numerador x^3+2>0 \implies f''>0 (côncavo para cima).
  • Para -\sqrt[3]{2}<x<0: denominador <0, numerador >0 \implies f''<0 (côncavo para baixo).
  • Para x<-\sqrt[3]{2}: denominador <0, numerador <0 \implies f''>0 (côncavo para cima).
    Logo inflexão em x=-\sqrt[3]{2}.
    Valor no ponto de inflexão:
f\bigl(-\sqrt[3]{2}\bigr) =\bigl(-\sqrt[3]{2}\bigr)^2+\frac{2}{-\sqrt[3]{2}} =2^{2/3}-2^{2/3}=0.

Passo 5

Esboço do gráfico (descrição):
  • Assíntota vertical em x=0, com f(x)\to+\infty quando x\to0^+ e f(x)\to-\infty quando x\to0^-.
  • Em (-\infty,0): função decrescente, côncava para cima até x=-\sqrt[3]{2}, depois côncava para baixo até 0. Inflexão em \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr).
  • Em (0,1): decrescente e côncava para cima.
  • Em (1,\infty): crescente e côncava para cima, com mínimo local em (1,3).

Resposta

  • Assíntota vertical: x=0. Sem assíntotas horizontais ou oblíquas.
  • Crescimento/decrescimento:
  • Decrescente em (-\infty,0)\cup(0,1).
  • Crescente em (1,\infty).
  • Ponto crítico: x=1, mínimo local em (1,3).
  • Concavidade:
  • Côncava para cima em (-\infty,-\sqrt[3]{2})\cup(0,\infty).
  • Côncava para baixo em (-\sqrt[3]{2},0).
  • Ponto de inflexão: \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr).
  • Esboço: gráfico com assíntota x=0, inflexão em -\sqrt[3]{2}, mínimo em (1,3) e comportamentos de concavidade e monotonia conforme acima.

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