Determine (caso existam) os seguintes limites:
lim x 0 arctg(x^2)e^x-x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0arctg(x^2)e^x-x-1.
Percebemos que, ao substituir x=0, tanto o numerador quanto o denominador vão para zero, caracterizando uma indeterminação do tipo tfrac00. Podemos então usar desenvolvimento em série de Taylor para resolver.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
substituindo x=0 no numerador e no denominador temos
arctg(0^2)=0 e
e^0-0-1=1-0-1=0,
logo o limite é do tipo tfrac00.

Passo 3

Desenvolvemos em Taylor a função arctg u em torno de u=0:
arctg u = u - u^33 + O(u^5)
Substituindo u=x^2 obtém-se
arctg(x^2) = x^2 - x^63 + O(x^10) = x^2 + O(x^6)

Passo 4

Desenvolvemos e^x em torno de x=0:
e^x = 1 + x + x^22 + O(x^3)
Logo
e^x - x -1 = x^22 + O(x^3)

Passo 5

Formamos a razão das expansões dominantes:
arctg(x^2)e^x-x-1 = x^2 + O(x^6)x^22 + O(x^3) ;xrightarrow[xto0]; x^2tfracx^22 =2

Resposta

2

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