Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim x -1 2 x^3-x^2-2 x+1x^2-x-2

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto -12x^3 - x^2 - 2x + 1x^2 - x - 2. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções racionais e como tratar a forma indeterminada 0/0 por meio de fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a substituição direta de x=-1 para ver se dá indeterminação. Substituindo, o numerador fica 2(-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) + 1 = -2 -1 +2 +1 = 0 e o denominador fica (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0. Então temos a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, fatoramos numerador e denominador. No denominador temos a fatoração clássica de trinômio:
x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)
No numerador, agrupando termos:
2x^3 - x^2 - 2x + 1 = x^2(2x - 1) - 1(2x - 1) = (x^2 - 1)(2x - 1) = (x + 1)(x - 1)(2x - 1)

Passo 4

Agora podemos cancelar o fator comum x+1, válido para xneq -1. A expressão simplificada é:
(x + 1)(x - 1)(2x - 1)(x + 1)(x - 2) = (x - 1)(2x - 1)x - 2

Passo 5

Basta então avaliar o limite da forma simplificada em x to -1. Substituindo:
(-1 - 1)(2(-1) - 1)-1 - 2 = (-2)(-3)-3 = 6-3 = -2

Resposta

-2

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