Resolva as integrais impróprias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria:
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque a função envolvida tem um comportamento especial no limite de integração. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e usar técnicas de integração, como a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Temos
, que podemos reescrever usando potências de
:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, percebemos que a integral envolve o produto de
e
. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
-
(porque sua derivada é mais simples) -
(o que facilita encontrar )
Passo 4
Vamos calcular
e
:
-
então -
então
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, vamos calcular cada termo:
-
: - Em
: - Em
: Embora vá para , vai para 0 mais rápido, então o limite é 0.
- Em
-
Resposta
A integral
é igual a
.