Resolva as integrais impróprias.
integral0^1 x ln xraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: integral0^1 x ln xraizx , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque a função envolvida tem um comportamento especial no limite de integração. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e usar técnicas de integração, como a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Temos xraizx, que podemos reescrever usando potências de x:
xraizx = xx^1/2 = x^1 - 1/2 = x^1/2
Então, a integral fica:
integral0^1 x^1/2 ln x , dx

Passo 3

Agora, percebemos que a integral envolve o produto de x^1/2 e ln x. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = ln x (porque sua derivada é mais simples)
  • dv = x^1/2 , dx (o que facilita encontrar v)

Passo 4

Vamos calcular du e v:
  • u = ln x então du = 1x , dx
  • dv = x^1/2 , dx então v = integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^1/2 ln x , dx = uv - integral v , du = ( 23 x^3/2 ln x ) - integral 23 x^3/2 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral 23 x^3/2 cdot 1x , dx = 23 integral x^1/2 , dx = 23 cdot 23 x^3/2 = 49 x^3/2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
integral0^1 x^1/2 ln x , dx = [ 23 x^3/2 ln x ]0^1 - 49 [ x^3/2 ]0^1
Agora, vamos calcular cada termo:
  1. [ 23 x^3/2 ln x ]0^1:
    • Em x = 1: 23 cdot 1^3/2 cdot ln 1 = 23 cdot 1 cdot 0 = 0
    • Em x = 0: Embora ln 0 vá para -infty, x^3/2 vai para 0 mais rápido, então o limite é 0.
  2. 49 [ x^3/2 ]0^1 = 49 (1^3/2 - 0^3/2) = 49

Resposta

A integral integral0^1 x ln xraizx , dx é igual a -49.

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