Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim x 3 x^3-2 x^2-3 xx^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 3 x^3-2x^2-3xx^2-9
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, e para resolver isso, vamos precisar fatorar polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se substituirmos $ x = 3 $ na expressão:
  • Numerador:
    x = 3
  • Denominador:
    3^3 - 2 times 3^2 - 3 times 3 = 27 - 18 - 9 = 0
Então, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar:
  • Numerador:
    x^3 - 2x^2 - 3x = x(x^2 - 2x - 3)
    Agora, fatorando $ x^{2} - 2x - 3 $:
    x^2 - 2x - 3
    Então, o numerador fica:
    x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
  • Denominador:
    x(x - 3)(x + 1)

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original:
x(x - 3)(x + 1)(x - 3)(x + 3)
Agora, podemos cancelar o termo comum $ (x - 3) $ que está no numerador e no denominador:
(x - 3)

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo $ x = 3 $:
x = 3

Resposta

O limite é 2.

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