Seja a função
f(x)=raizx cdot(x-1)|x-1|
Determine os limites lim x 1^- f(x) e lim x 1^+ f(x);

Passo 1

Vamos resolver um exercício de limites envolvendo funções com valor absoluto e raízes. Precisamos encontrar os limites de $ f(x) = \frac{\sqrt{x} \cdot (x - 1)}{|x - 1|} $ quando $ x $ se aproxima de 1 por valores menores que 1 ($ x \rightarrow 1^{-} f(x) = raizx cdot (x - 1)|x - 1| x \rightarrow 1^{+} $). Para isso, vamos usar conceitos de funções de valor absoluto e comportamento das funções próximas a pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor absoluto. A função $ |a| $ retorna o valor positivo de $ a $, ou seja, $ |a| = a $ se $ a \geq 0 $ e $ |a| = -a $ se $ a < 0 $. No nosso caso, temos $ |x - 1| $, que depende de como $ x $ se aproxima de 1.

Passo 3

Vamos analisar separadamente os casos quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \rightarrow 1^{-} x x \rightarrow 1^{+} $).

Passo 4

Caso 1: $ x \rightarrow 1^{-} $ (pela esquerda)
Quando $ x $ é ligeiramente menor que 1, $ x - 1 $ é negativo. Portanto, $ |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x $.
Substituindo na função:
x 1^-

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda:
x

Passo 6

Caso 2: $ x \rightarrow 1^{+} $ (pela direita)
Quando $ x $ é ligeiramente maior que 1, $ x - 1 $ é positivo. Portanto, $ |x - 1| = x - 1 $.
Substituindo na função:
x 1^+

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita:
x

Resposta

limx to 1^- f(x) = -1 e limx to 1^+ f(x) = 1

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