Determine, caso existam, as soluções constantes.
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções constantes da equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.
Isto significa: procurar funções constantes y(x)=C (com C fixo, independente de x) que satisfaçam a igualdade para todo x do domínio considerado. As informações dadas são apenas a própria equação diferencial; não há condições iniciais adicionais nem figura.

Passo 2

Se y(x)=C é uma função constante, então a derivada em relação a x é
\frac{dy}{dx}=0.
Isto é uma propriedade básica: a derivada de uma função constante é zero porque a função não varia quando x varia.

Passo 3

Substituindo \frac{dy}{dx}=0 na equação diferencial obtemos a condição
0=\frac{x}{C}.
Essa igualdade deve valer para todos os x do intervalo onde a solução está definida.

Passo 4

Analiso agora a igualdade obtida. Se C\neq 0, podemos multiplicar ambos os lados por C e obtemos
0=x
para todo x do domínio. Mas isso é impossível, porque x varia e não pode ser igual a zero para todos os pontos de um intervalo. Logo não existe C\neq 0 que satisfaça a condição para todo x.

Passo 5

Verifico o caso C=0 separado, porque aí a expressão \frac{x}{C} envolve divisão por zero. Se y\equiv 0, a equação original fica com o termo \frac{x}{0}, que é indeterminado/inválido: a equação não está definida quando y=0. Portanto y\equiv 0 também não é solução da equação diferencial (pelo menos não como solução definida em um intervalo onde a equação faz sentido).

Passo 6

Conclusão: não existe nenhum valor constante C tal que y(x)=C satisfaça a equação diferencial em algum intervalo. (Observação técnica: a única “solução” que anularia o lado direito seria forçar x=0 em todo o domínio, o que não é admissível para uma solução em um intervalo; e y=0 torna a equação não definida.)

Resposta

Não existem soluções constantes.

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