Determine, caso existam, as soluções constantes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções constantes da equação diferencial
Isto significa: procurar funções constantes
(com
fixo, independente de
) que satisfaçam a igualdade para todo
do domínio considerado. As informações dadas são apenas a própria equação diferencial; não há condições iniciais adicionais nem figura.
Passo 2
Se
é uma função constante, então a derivada em relação a
é
Isto é uma propriedade básica: a derivada de uma função constante é zero porque a função não varia quando
varia.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial obtemos a condição
Essa igualdade deve valer para todos os
do intervalo onde a solução está definida.
Passo 4
Analiso agora a igualdade obtida. Se
, podemos multiplicar ambos os lados por
e obtemos
para todo
do domínio. Mas isso é impossível, porque
varia e não pode ser igual a zero para todos os pontos de um intervalo. Logo não existe
que satisfaça a condição para todo
.
Passo 5
Verifico o caso
separado, porque aí a expressão
envolve divisão por zero. Se
, a equação original fica com o termo
, que é indeterminado/inválido: a equação não está definida quando
. Portanto
também não é solução da equação diferencial (pelo menos não como solução definida em um intervalo onde a equação faz sentido).
Passo 6
Conclusão: não existe nenhum valor constante
tal que
satisfaça a equação diferencial em algum intervalo. (Observação técnica: a única “solução” que anularia o lado direito seria forçar
em todo o domínio, o que não é admissível para uma solução em um intervalo; e
torna a equação não definida.)
Resposta
Não existem soluções constantes.