Verifique que a função dada é solução da equação dada.
y(x)=1, x>0, e \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função candidata \;y(x)=1,\;x>0\; e a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{x}.
A tarefa é verificar se a função dada é solução da equação no domínio indicado. Informações relevantes: a função é constante igual a 1 para todo x>0; a equação relaciona a derivada de y com x e y.

Passo 2

O que significa “verificar que é solução”? Significa duas coisas:
  1. A função deve ser diferenciável no domínio considerado ( x>0).
  2. Ao substituir y(x) e sua derivada na equação, os dois lados devem coincidir para todo x>0.
    Vamos então calcular a derivada de \;y(x)=1\; e calcular o lado direito da equação com y=1.

Passo 3

Calcular a derivada de uma constante: regra básica de derivação diz que a derivada de uma constante é zero. Portanto,
\frac{dy}{dx}=0.
Aqui eu usei a propriedade simples: se y(x)=C com C constante, então \frac{dy}{dx}=0. Como y(x)=1 é constante, sua derivada é 0.

Passo 4

Agora substituo y=1 no lado direito da equação
\frac{y^{2}-1}{x}=\frac{1^{2}-1}{x}=\frac{1-1}{x}=\frac{0}{x}.
Como o domínio dado é x>0, temos x\neq 0, então \frac{0}{x}=0. Portanto o lado direito vale 0 para todo x>0.

Passo 5

Comparei os dois lados: a derivada (lado esquerdo) é \;0 e o lado direito ao substituir y=1 também é \;0. Logo, para todo x>0 vale
\frac{dy}{dx}=0=\frac{y^{2}-1}{x}.
Assim a igualdade da equação diferencial é satisfeita em todo o domínio x>0. Além disso, a função é diferenciável (é constante), então todas as condições para ser solução estão atendidas.

Resposta

Sim: y(x)=1 é solução da equação \frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{x} para x>0.

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