Verifique que a função dada é solução da equação dada.
, e
Passo 1
O enunciado dá a função candidata
e a equação diferencial
A tarefa é verificar se a função dada é solução da equação no domínio indicado. Informações relevantes: a função é constante igual a
para todo
; a equação relaciona a derivada de
com
e
.
Passo 2
O que significa “verificar que é solução”? Significa duas coisas:
- A função deve ser diferenciável no domínio considerado (
). - Ao substituir
e sua derivada na equação, os dois lados devem coincidir para todo .
Vamos então calcular a derivada dee calcular o lado direito da equação com .
Passo 3
Calcular a derivada de uma constante: regra básica de derivação diz que a derivada de uma constante é zero. Portanto,
Aqui eu usei a propriedade simples: se
com
constante, então
. Como
é constante, sua derivada é
.
Passo 4
Agora substituo
no lado direito da equação
Como o domínio dado é
, temos
, então
. Portanto o lado direito vale
para todo
.
Passo 5
Comparei os dois lados: a derivada (lado esquerdo) é
e o lado direito ao substituir
também é
. Logo, para todo
vale
Assim a igualdade da equação diferencial é satisfeita em todo o domínio
. Além disso, a função é diferenciável (é constante), então todas as condições para ser solução estão atendidas.
Resposta
Sim:
é solução da equação
para
.