Exercicios: Derivadas parciais, Incrementos e Diferenciais
Se v=y ln (x^2+z^4), calcule vz y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem de $ v = y \ln \left(x{2}+z{4}\right) $ em relação a $ z $ e depois a $ y $. Isso está dentro do conteúdo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação parcial passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ z $, ou seja, $ v_z $. Lembre-se que $ y $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ z $.
v

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar $ \ln \left(x{2}+z{4}\right) $ em relação a $ z $:
ln (x^2+z^4)

Passo 4

Substituímos essa derivada de volta em $ v_z $:
vz

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ v_z $ em relação a $ y $, ou seja, $ v_{zy} $. Aqui, $ y $ é a variável e $ z $ é constante.
vz

Passo 6

Como $ \frac{4z{3}}{x{2}+z^{4}} $ é uma constante em relação a $ y $, a derivada fica simplesmente:
4z^3x^2+z^4

Resposta

A derivada parcial $ v_{zy} $ é igual a $ \frac{4z{3}}{x{2}+z^{4}} $.

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