Determine, caso existam, os valores de
para os quais as equaçôes abaixo representam uma hipérbole.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
tais que a curva
seja uma hipérbole.
Conteúdo: classificação de cônicas do tipo . Para uma cônica sem termo
(isto é,
), ela é hiperbola se e somente se
Conteúdo: classificação de cônicas do tipo
e a cônica for não-degenerada (determinante do sistema
).
Passo 2
Identificamos os coeficientes na forma geral:
Como
, a condição de hipérbole é
A inequação
dá
Passo 3
Agora verificamos não-degenerescência, calculando o determinante da matriz associada à cônica:
Para não ser degenerada, precisamos
detneq0 , ou seja
Passo 4
Fazendo a interseção das condições:
1 .
-2<k<2 (para hipérbole),
2 .
kneq -2,1,2 (para não-degenerescência),
resulta em
resulta em
Resposta
Os valores de
k que fazem a curva ser uma hipérbole não-degenerada são