Determine, caso existam, os valores de k in R para os quais as equaçôes abaixo representam uma hipérbole.
(k-2) x^2+2(k-2) x+(k+2) y^2=k^2-3 k+3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de kinR tais que a curva
(k-2)x^2+2(k-2)x+(k+2)y^2=k^2-3k+3
seja uma hipérbole.
Conteúdo: classificação de cônicas do tipo Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. Para uma cônica sem termo xy (isto é, B=0), ela é hiperbola se e somente se
De<a = B^2 - 4AC > 0
e a cônica for não-degenerada (determinante do sistema neq 0).

Passo 2

Identificamos os coeficientes na forma geral:
A = k-2, B=0, C = k+2, D=2(k-2), E=0, F = -(k^2-3k+3)
Como B=0, a condição de hipérbole é
De<a = -4,A,C > 0 Long<=ftrightarrow A,C < 0 Long<=ftrightarrow (k-2)(k+2)<0
A inequação (k-2)(k+2)<0
-2 < k < 2

Passo 3

Agora verificamos não-degenerescência, calculando o determinante da matriz associada à cônica:
det = A & 0 & D/2 0 & C & 0 D/2 & 0 & F = A,C,F ;-; C,(D/2)^2 = -,(k+2)(k-2)(k-1)^2
Para não ser degenerada, precisamos detneq0, ou seja
(k+2)(k-2)(k-1)^2 neq 0 Long<=ftrightarrow kneq -2,;kneq 2,;kneq 1

Passo 4

Fazendo a interseção das condições:
1. -2<k<2 (para hipérbole),
2. kneq -2,1,2 (para não-degenerescência),
resulta em
kin(-2,2)setminus1 =;(-2,1);cup;(1,2)

Resposta

Os valores de k que fazem a curva ser uma hipérbole não-degenerada são
boxedkin(-2,1);cup;(1,2)

Exercícios relacionados