Calcule a derivada implícita da função 5 x y^{3}-2 x^{2}=\operatorname{sen}(2 x) y+3

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva implícita 5 x y^3 - 2 x^2 = \operatorname{sen}(2 x)\,y + 3. O conteúdo é derivação implícita e vamos usar regra do produto e regra da cadeia para encontrar y'=\tfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x. Para o lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl(5x y^3\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(2x^2\bigr) =5\bigl(y^3 + x\cdot 3y^2y'\bigr)-4x.
Para o lado direito:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(2x)\,y\bigr)+\frac{d}{dx}(3) =2\cos(2x)\,y + \operatorname{sen}(2x)\,y'.

Passo 3

Igualando as duas expressões obtemos
5\bigl(y^3 + 3x y^2y'\bigr)-4x = 2y\cos(2x) + \operatorname{sen}(2x)\,y'.

Passo 4

Agrupando os termos com y' no lado esquerdo e os demais no direito:
15x y^2y' - \operatorname{sen}(2x)\,y' =2y\cos(2x) + 4x - 5y^3.
Fatorando y':
y'\,\bigl(15x y^2 - \operatorname{sen}(2x)\bigr) =2y\cos(2x) + 4x - 5y^3.

Resposta

y' = \frac{2y\cos(2x) + 4x - 5y^3}{15x y^2 - \operatorname{sen}(2x)}.

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