Calculo o divergente e o rotacional do campo
.
Passo 1
O enunciado pede dois cálculos sobre o campo vetorial
:
- Calcular o divergente de
. - Calcular o rotacional (ou curl) de
.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
-
. -
. -
. - Observação sobre domínio: a terceira componente usa
, logo a expressão está definida apenas onde . As derivadas parciais que vamos calcular supõem pontos desse domínio (onde as funções são diferenciáveis).
Passo 2
Definições e regras que vamos usar (explicadas devagarinho):
- O divergente de um campo
é a soma das derivadas parciais das componentes nas direções correspondentes:
Aqui
significa: variar
enquanto
ficam fixos, e assim por diante.
- O rotacional de
é o produto vetorial . Em coordenadas cartesianas, suas componentes são:
- Regras de derivação que usaremos:
- Derivada de
em relação a uma variável é (regra da cadeia). - Derivada de
é . - Derivada de
é (novamente regra da cadeia). - Ao derivar expressões como
em relação a , tratamos como constantes, etc.
- Derivada de
Passo 3
Calculando
passo a passo:
-
. Seja . - Derivada de
em relação a é . - Como
, temos (porque são constantes ao derivar em relação a ). - Portanto,
Passo 4
Calculando
:
-
. Seja de novo. - Derivada de
em relação a é . -
. - Logo,
Passo 5
Calculando
:
-
. Aqui é tratado como constante ao derivar em . - Derivada de
em relação a : use (quando e ), ou aplique cadeia direta: -
- Multiplicando por
(que é constante aqui),
válido quando
(para que o log exista) e
.
Passo 6
Somando os termos para obter o divergente:
Substituindo as derivadas que achamos:
Podemos deixar assim; é claro que essa expressão só faz sentido nos pontos onde
e
(ou, se
então
automaticamente).
Passo 7
Agora calculamos o rotacional componente a componente, usando a fórmula
Vamos obter cada derivada parcial necessária.
Passo 8
Calcular
:
-
. Ao derivar em , e são constantes. -
- Multiplicando por
,
Passo 9
Calcular
:
-
. Com , . - Portanto,
Passo 10
Agora a primeira componente do rotacional:
Passo 11
Calcular
e
para a segunda componente:
-
: com e ,
, então -
: com , derivando em (tratando como constantes), - Logo a segunda componente é
Passo 12
Calcular
e
para a terceira componente:
-
: , com , -
: , com , - Assim a terceira componente é
Passo 13
Juntando as três componentes, o rotacional fica
Lembre-se: todas as expressões que envolvem
exigem
; as demais expressões são válidas onde as funções forem diferenciáveis.