Calculo o divergente e o rotacional do campo \vec{F}(x, y, z)=(\cos (x y z), e^{x y z}, x \ln (y z)).

Passo 1

O enunciado pede dois cálculos sobre o campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = (\cos(x y z),\, e^{x y z},\, x\ln(y z)):
  • Calcular o divergente de \vec{F}.
  • Calcular o rotacional (ou curl) de \vec{F}.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • F_1(x,y,z)=\cos(x y z).
  • F_2(x,y,z)=e^{x y z}.
  • F_3(x,y,z)=x\ln(y z).
  • Observação sobre domínio: a terceira componente usa \ln(y z), logo a expressão está definida apenas onde y z>0. As derivadas parciais que vamos calcular supõem pontos desse domínio (onde as funções são diferenciáveis).

Passo 2

Definições e regras que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • O divergente de um campo \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é a soma das derivadas parciais das componentes nas direções correspondentes:
\operatorname{div}\vec{F} = \nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.
Aqui \partial/\partial x significa: variar x enquanto y,z ficam fixos, e assim por diante.
  • O rotacional de \vec{F} é o produto vetorial \nabla\times\vec{F}. Em coordenadas cartesianas, suas componentes são:
\nabla\times\vec{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
  • Regras de derivação que usaremos:
    • Derivada de \cos(u) em relação a uma variável é -\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia).
    • Derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u'.
    • Derivada de \ln(u) é u'/u (novamente regra da cadeia).
    • Ao derivar expressões como x\ln(y z) em relação a x, tratamos y,z como constantes, etc.

Passo 3

Calculando \partial F_1/\partial x passo a passo:
  • F_1(x,y,z)=\cos(x y z). Seja u(x,y,z)=x y z.
  • Derivada de \cos(u) em relação a x é -\sin(u)\cdot \partial u/\partial x.
  • Como u=x y z, temos \partial u/\partial x = y z (porque y,z são constantes ao derivar em relação a x).
  • Portanto,
\frac{\partial F_1}{\partial x} = -\sin(x y z)\cdot (y z) = -y z\,\sin(x y z).

Passo 4

Calculando \partial F_2/\partial y:
  • F_2(x,y,z)=e^{x y z}. Seja u=x y z de novo.
  • Derivada de e^{u} em relação a y é e^{u}\cdot \partial u/\partial y.
  • \partial u/\partial y = x z.
  • Logo,
\frac{\partial F_2}{\partial y} = e^{x y z}\cdot (x z) = x z\,e^{x y z}.

Passo 5

Calculando \partial F_3/\partial z:
  • F_3(x,y,z)=x\ln(y z). Aqui x é tratado como constante ao derivar em z.
  • Derivada de \ln(y z) em relação a z: use \ln(y z)=\ln y + \ln z (quando y>0 e z>0), ou aplique cadeia direta:
    • \frac{d}{dz}\ln(y z)=\frac{1}{y z}\cdot \frac{d}{dz}(y z)=\frac{1}{y z}\cdot y=\frac{1}{z}.
  • Multiplicando por x (que é constante aqui),
\frac{\partial F_3}{\partial z} = x\cdot\frac{1}{z}=\frac{x}{z},
válido quando y z>0 (para que o log exista) e z\neq 0.

Passo 6

Somando os termos para obter o divergente:
\operatorname{div}\vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.
Substituindo as derivadas que achamos:
\operatorname{div}\vec{F} = -y z\,\sin(x y z) + x z\,e^{x y z} + \frac{x}{z}.
Podemos deixar assim; é claro que essa expressão só faz sentido nos pontos onde y z>0 e z\neq 0 (ou, se y z>0 então z\neq 0 automaticamente).

Passo 7

Agora calculamos o rotacional componente a componente, usando a fórmula
\nabla\times\vec{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Vamos obter cada derivada parcial necessária.

Passo 8

Calcular \partial F_3/\partial y:
  • F_3(x,y,z)=x\ln(y z). Ao derivar em y, x e z são constantes.
  • \frac{d}{dy}\ln(y z)=\frac{1}{y z}\cdot z=\frac{1}{y}.
  • Multiplicando por x,
\frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{x}{y}.

Passo 9

Calcular \partial F_2/\partial z:
  • F_2=e^{x y z}. Com u=x y z, \partial u/\partial z = x y.
  • Portanto,
\frac{\partial F_2}{\partial z} = e^{x y z}\cdot (x y) = x y\,e^{x y z}.

Passo 10

Agora a primeira componente do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})_1 = \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{x}{y} - x y\,e^{x y z}.

Passo 11

Calcular \partial F_1/\partial z e \partial F_3/\partial x para a segunda componente:
  • \partial F_1/\partial z: com F_1=\cos(x y z) e u=x y z,
    \partial u/\partial z = x y, então \frac{\partial F_1}{\partial z} = -\sin(x y z)\cdot (x y) = -x y\,\sin(x y z).
  • \partial F_3/\partial x: com F_3=x\ln(y z), derivando em x (tratando y,z como constantes), \frac{\partial F_3}{\partial x} = \ln(y z).
  • Logo a segunda componente é
(\nabla\times\vec{F})_2 = \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} = -x y\,\sin(x y z) - \ln(y z).

Passo 12

Calcular \partial F_2/\partial x e \partial F_1/\partial y para a terceira componente:
  • \partial F_2/\partial x: F_2=e^{x y z}, com \partial u/\partial x = y z, \frac{\partial F_2}{\partial x} = y z\,e^{x y z}.
  • \partial F_1/\partial y: F_1=\cos(x y z), com \partial u/\partial y = x z, \frac{\partial F_1}{\partial y} = -\sin(x y z)\cdot (x z) = -x z\,\sin(x y z).
  • Assim a terceira componente é
(\nabla\times\vec{F})_3 = \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = y z\,e^{x y z} - (-x z\,\sin(x y z)) = y z\,e^{x y z} + x z\,\sin(x y z).

Passo 13

Juntando as três componentes, o rotacional fica
\nabla\times\vec{F} = \left(\frac{x}{y} - x y\,e^{x y z},\; -x y\,\sin(x y z) - \ln(y z),\; y z\,e^{x y z} + x z\,\sin(x y z)\right).
Lembre-se: todas as expressões que envolvem \ln(y z) exigem y z>0; as demais expressões são válidas onde as funções forem diferenciáveis.

Resposta

\operatorname{div}\vec{F} = -y z\,\sin(x y z) + x z\,e^{x y z} + \dfrac{x}{z}\n
\nabla\times\vec{F} = \left(\dfrac{x}{y} - x y\,e^{x y z},\; -x y\,\sin(x y z) - \ln(y z),\; y z\,e^{x y z} + x z\,\sin(x y z)\right)

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