Determine os catetos de um triângulo retângulo de área máxima sabendo que sua hipotenusa é
.
Passo 1
O problema pede pra achar os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é fixa igual a
, de modo que a área seja a maior possível. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição (aqui dada pelo Teorema de Pitágoras) e derivadas para encontrar extremo.
Passo 2
Vamos chamar os catetos de
e
. A área do triângulo é dado por
e, pela hipotenusa fixa, temos a restrição de Pitágoras:
Passo 3
Para usar uma única variável, expressamos
em função de
:
Passo 4
Substituindo na área, obtemos a função de uma variável
Passo 5
Para achar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero. A derivada é
Passo 6
Igualando
dá
Passo 7
Como o problema é simétrico em
e
, concluímos que
Resposta
Os catetos que maximizam a área são iguais a
.