Determine os catetos de um triângulo retângulo de área máxima sabendo que sua hipotenusa é h.

Passo 1

O problema pede pra achar os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é fixa igual a h, de modo que a área seja a maior possível. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição (aqui dada pelo Teorema de Pitágoras) e derivadas para encontrar extremo.

Passo 2

Vamos chamar os catetos de x e y. A área do triângulo é dado por A=tfrac12,x,y e, pela hipotenusa fixa, temos a restrição de Pitágoras:
x^2+y^2=h^2

Passo 3

Para usar uma única variável, expressamos y em função de x:
y=raizh^2-x^2

Passo 4

Substituindo na área, obtemos a função de uma variável
A(x)=tfrac12,xraizh^2-x^2

Passo 5

Para achar o máximo, derivamos A(x) em relação a x e igualamos a zero. A derivada é
A'(x)=tfrac12l(raizh^2-x^2+xcdot-xraizh^2-x^2r) =h^2-2x^22raizh^2-x^2

Passo 6

Igualando A'(x)=0
h^2-2x^2=0implies x^2=h^22implies x=hraiz2

Passo 7

Como o problema é simétrico em x e y, concluímos que
y=hraiz2

Resposta

Os catetos que maximizam a área são iguais a x=y=tfrachraiz2.

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