Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial $ r(t) = \left(t, e^{-t}, t e^{-t}\right) $ no intervalo de $ t = 1 $ até $ t = 3 $. O conteúdo que vamos usar aqui é principalmente o cálculo de comprimentos de curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar a magnitude dessa derivada e então integrar essa magnitude no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial $ r(t) $ em relação a $ t $. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente.
Então,
Calculando cada derivada:
Portanto,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a magnitude da derivada $ r’(t) $. A magnitude de um vetor $ \left(a, b, c\right) $ é dada por:
Aplicando isso ao nosso $ r’(t) $:
Podemos fatorar $ e^{-2t} $:
Simplificando $ [1 + (1 - t)^2] $:
Então,
Passo 4
Agora, para encontrar o comprimento da curva, vamos integrar a magnitude de $ r’(t) $ de $ t = 1 $ até $ t = 3 $:
Essa integral pode ser um pouco complicada para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou ferramentas de cálculo para avaliar.
Passo 5
Usando uma calculadora ou software de cálculo para avaliar a integral:
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente $ 2{,}35 $ unidades.