Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial $ r(t) = \left(t, e^{-t}, t e^{-t}\right) $ no intervalo de $ t = 1 $ até $ t = 3 $. O conteúdo que vamos usar aqui é principalmente o cálculo de comprimentos de curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar a magnitude dessa derivada e então integrar essa magnitude no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial $ r(t) $ em relação a $ t $. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente.
r(t)
Então,
t
Calculando cada derivada:
r(t) = (t, e^-t, t e^-t)
r'(t) = (ddt(t), ddt(e^-t), ddt(t e^-t))
ddt(t) = 1
Portanto,
ddt(e^-t) = -e^-t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude da derivada $ r’(t) $. A magnitude de um vetor $ \left(a, b, c\right) $ é dada por:
r'(t)
Aplicando isso ao nosso $ r’(t) $:
(a, b, c)
|r'(t)| = raiza^2 + b^2 + c^2
Podemos fatorar $ e^{-2t} $:
r'(t)
Simplificando $ [1 + (1 - t)^2] $:
|r'(t)| = raiz1^2 + (-e^-t)^2 + (e^-t(1 - t))^2
|r'(t)| = raiz1 + e^-2t + e^-2t(1 - t)^2
Então,
e^-2t

Passo 4

Agora, para encontrar o comprimento da curva, vamos integrar a magnitude de $ r’(t) $ de $ t = 1 $ até $ t = 3 $:
r'(t)
Essa integral pode ser um pouco complicada para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou ferramentas de cálculo para avaliar.

Passo 5

Usando uma calculadora ou software de cálculo para avaliar a integral:
Comprimento approx integral1^3 raiz1 + e^-2t(t^2 - 2t + 2) , dt approx 2.35

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente $ 2{,}35 $ unidades.

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