O,O1 Determine x e y para que (A+B) \cdot C=D. Dado:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & x:-x \\\\ 2 & y:-1 \end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{ccc} -x & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right] ; C=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 2 \\\\ 2 x \end{array}\right] ; D=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar x e y tais que (A+B)\cdot C = D. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{bmatrix}1 & x & -x \\[4pt] 2 & y & -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-x & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 2x\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}1 \\[4pt] -3\end{bmatrix}.
Informações relevantes listadas:
  • A e B são matrizes de ordem 2\times3.
  • C é vetor coluna de ordem 3\times1.
  • D é vetor coluna de ordem 2\times1.
  • A multiplicação (A+B)\cdot C é bem definida e produzirá um vetor 2\times1; igualando-o a D obteremos um sistema de duas equações em x e y.]

Passo 2

Primeiro fazemos a adição de matrizes: a soma é feita elemento a elemento. Calculamos A+B:
A+B=\begin{bmatrix} 1+(-x) & x+0 & -x+1 \\[4pt] 2+3 & y+0 & -1+1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1-x & x & 1-x \\[4pt] 5 & y & 0 \end{bmatrix}.
Explicação didática: cada entrada (i,j) de A+B é (A)_{ij}+(B)_{ij}. Fiz isso para cada posição.]

Passo 3

Agora multiplicamos (A+B) por C. Regra de multiplicação: o elemento da linha i do produto é o produto escalar (soma de produtos) entre a linha i de (A+B) e a coluna C.
Calculamos a primeira componente (linha 1):
\begin{aligned} \text{(linha 1)}\cdot C &= (1-x)(-1) + x\cdot 2 + (1-x)\cdot(2x). \end{aligned}
Vamos desenvolver termo a termo:
(1-x)(-1) = -1 + x,
x\cdot 2 = 2x,
(1-x)\cdot(2x) = 2x(1-x)=2x-2x^{2}.
Somando tudo:
-1 + x + 2x + 2x - 2x^{2} = -1 + 5x - 2x^{2}.
Igualando à primeira entrada de D, que é 1, obtemos a equação:
-1 + 5x - 2x^{2} = 1.
Passo de rearranjo e simplificação:
-2x^{2} + 5x -1 = 1 \quad\Rightarrow\quad -2x^{2} +5x -2 =0.
Multiplicando por -1 para ficar mais simples:
2x^{2} -5x +2 = 0.
Esta é uma equação quadrática. Aplicamos a fórmula quadrática ou calculamos o discriminante:
\Delta = (-5)^{2} - 4\cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9.
As raízes são
x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2\cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}.
Logo
x = \frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2 \quad\text{ou}\quad x=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda componente (linha 2) do produto (A+B)\cdot C. Usando a linha 2 de (A+B):
\text{(linha 2)}\cdot C = 5\cdot(-1) + y\cdot 2 + 0\cdot(2x).
Desenvolvendo:
5\cdot(-1) = -5,\qquad y\cdot 2 = 2y,\qquad 0\cdot(2x)=0.
Somando:
-5 + 2y.
Igualando à segunda entrada de D, que é -3, obtemos:
-5 + 2y = -3.
Resolvendo para y:
2y = -3 + 5 = 2 \quad\Rightarrow\quad y = 1.

Passo 5

Verificação rápida: substituindo x=2 em -1+5x-2x^{2} -1+10-8=1, ok. Substituindo x=\tfrac{1}{2} -1 + 5\cdot\tfrac{1}{2} - 2\cdot\tfrac{1}{4} = -1 + \tfrac{5}{2} - \tfrac{1}{2} = -1 + 2 = 1, ok. E para y=1 a segunda equação dá -5+2\cdot1=-3, ok. Portanto ambas as soluções de x com y=1 satisfazem a igualdade.

Resposta

\;x=2 ou \;x=\tfrac{1}{2}
\;y=1

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