4 Dados os pontos A(2,-1,-1) e B(3,1,-2), determinar o vetor \vec{v} paralelo a \overrightarrow{A B} tal que \overrightarrow{A B} \cdot \vec{v}=-24.

Passo 1

O enunciado dá os pontos \\ A(2,-1,-1)\ e \\ B(3,1,-2)\ e pede: encontrar um vetor \\ \vec{v}\ que seja paralelo a \\ \overrightarrow{AB}\ e que satisfaça \\ \overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=-24\.
Informações relevantes: as coordenadas de A e B são dadas explicitamente; a condição “paralelo” significa que \vec{v} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AB}; a condição com produto escalar fornece uma equação escalar para determinar esse múltiplo.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o vetor \\ \overrightarrow{AB}\ (o vetor que vai de A para B). A fórmula para o vetor entre dois pontos é subtrair as coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A.
Aplicando às coordenadas dadas:
\overrightarrow{AB}=(3-2,\;1-(-1),\;-2-(-1)).
Agora fazemos as subtrações:
\overrightarrow{AB}=(1,\;2,\;-1).

Passo 3

Explicando o que significa “vetor paralelo”: dizer que \vec{v} é paralelo a \overrightarrow{AB} é o mesmo que afirmar que existe um escalar t\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=t\,\overrightarrow{AB}.
Aqui t é uma incógnita escalar que vamos determinar usando a condição do produto escalar. Essa é uma técnica padrão: representar o vetor procurado como múltiplo do vetor diretor conhecido.

Passo 4

Agora usamos a condição do enunciado com produto escalar. Substituindo \vec{v}=t\,\overrightarrow{AB} em \overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=-24 obtemos:
\overrightarrow{AB}\cdot (t\,\overrightarrow{AB}) = -24.
Usando propriedade do produto escalar (bilinearidade), isso vira
t\;(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}) = -24.
Aqui \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} é o quadrado da norma de \overrightarrow{AB}, ou seja \|\overrightarrow{AB}\|^2.

Passo 5

Calculamos \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} usando as coordenadas (1,2,-1):
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=1^2+2^2+(-1)^2=1+4+1=6.
Logo a equação do passo anterior fica
t\cdot 6 = -24.

Passo 6

Resolvendo para t:
t = \frac{-24}{6} = -4.
Então o escalar que transforma \overrightarrow{AB} em \vec{v} é t=-4.

Passo 7

Agora obtém-se \vec{v} substituindo t em \vec{v}=t\,\overrightarrow{AB}:
\vec{v} = -4\,(1,2,-1) = (-4,\,-8,\;4).
Podemos fazer uma verificação rápida: calcular o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}:
(1,2,-1)\cdot(-4,-8,4)=1\cdot(-4)+2\cdot(-8)+(-1)\cdot 4 = -4-16-4 = -24,
que é exatamente o valor pedido. Tudo conferido.

Resposta

\,(-4,-8,4)\,

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