4 Dados os pontos A(2,-1,-1) e B(3,1,-2), determinar o vetor \vec{v} paralelo a \overrightarrow{A B} tal que \overrightarrow{A B} \cdot \vec{v}=-24.
Passo 1
O enunciado dá os pontos \\ A(2,-1,-1)\ e \\ B(3,1,-2)\ e pede: encontrar um vetor \\ \vec{v}\ que seja paralelo a \\ \overrightarrow{AB}\ e que satisfaça \\ \overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=-24\.
Informações relevantes: as coordenadas de A e B são dadas explicitamente; a condição “paralelo” significa que \vec{v} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AB}; a condição com produto escalar fornece uma equação escalar para determinar esse múltiplo.
Passo 2
Vamos calcular primeiro o vetor \\ \overrightarrow{AB}\ (o vetor que vai de A para B). A fórmula para o vetor entre dois pontos é subtrair as coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A.
Aplicando às coordenadas dadas:
\overrightarrow{AB}=(3-2,\;1-(-1),\;-2-(-1)).
Agora fazemos as subtrações:
\overrightarrow{AB}=(1,\;2,\;-1).
Passo 3
Explicando o que significa “vetor paralelo”: dizer que \vec{v} é paralelo a \overrightarrow{AB} é o mesmo que afirmar que existe um escalar t\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=t\,\overrightarrow{AB}.
Aqui t é uma incógnita escalar que vamos determinar usando a condição do produto escalar. Essa é uma técnica padrão: representar o vetor procurado como múltiplo do vetor diretor conhecido.
Passo 4
Agora usamos a condição do enunciado com produto escalar. Substituindo \vec{v}=t\,\overrightarrow{AB} em \overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=-24 obtemos: