Determine o centro da circunferência obtida pela interseção do plano \pi: x+y+z-7=0 com a esfera S: x^{2}+y^{2}+z^{2}+6 x-10 y+2 z+10=0.

Passo 1

O enunciado pede o centro da circunferência obtida pela interseção do plano \pi\colon x+y+z-7=0 com a esfera
S\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x-10y+2z+10=0.
O conteúdo é geometria analítica: vamos precisar determinar o centro e raio da esfera e, em seguida, projetar ortogonalmente esse centro sobre o plano.

Passo 2

Para achar o centro e o raio de S, completamos quadrados em cada coordenada:
x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9,\quad y^{2}-10y=(y-5)^{2}-25,\quad z^{2}+2z=(z+1)^{2}-1.
Substituindo na equação de S, obtemos
(x+3)^{2}-9 + (y-5)^{2}-25 + (z+1)^{2}-1 +10 = 0
\Longrightarrow (x+3)^{2} + (y-5)^{2} + (z+1)^{2} = 25.
Logo o centro da esfera é
C = (-3,\,5,\,-1)
e seu raio é R = 5.

Passo 3

O plano \pi está dado por
x+y+z-7=0,
cujo vetor normal é \mathbf{n}=(1,1,1). Na forma ax+by+cz+d=0, temos
a=1,\quad b=1,\quad c=1,\quad d=-7.

Passo 4

O centro da circunferência é o pé da perpendicular de C sobre \pi, dado por
H = C \;-\;\frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{a^2+b^2+c^2}\,(a,b,c),
onde C=(x_0,y_0,z_0)=(-3,5,-1). Calculamos
\frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{a^2+b^2+c^2} = \frac{1\cdot(-3)+1\cdot5+1\cdot(-1)+(-7)}{1+1+1} = \frac{-6}{3} = -2.
Portanto
H = (-3,5,-1) - (-2)\,(1,1,1) = (-3,5,-1) + (2,2,2) = (-1,7,1).

Resposta

O centro da circunferência de interseção é (-1,\,7,\,1).

Exercícios relacionados