Seja a reta r de equação cartesiana dada por \frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{-z-1}{1}
a) Determine a equação vetorial da reta r.
b) Calcule a distância da origem até a reta.

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma simétrica
\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{-z-1}{1}
e pede
– a equação vetorial de r,
– a distância da origem até r.
Para isso usaremos que, a partir da forma simétrica, identificamos um ponto P_0 e um vetor direção \vec v, montamos
r(t)=P_0+t\,\vec v,
e aplicamos a fórmula da distância de um ponto à reta em \mathbb{R}^3:
d=\frac{\bigl\|\overrightarrow{OP_0}\times \vec v\bigr\|}{\|\vec v\|}.

Passo 2

Escrevendo \frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{-z-1}{1}=t em parámetro t: x=2t, y=1+3t, -z-1=t \implies z=-t-1.
Em t=0 temos o ponto
P_0=(0,1,-1).
O vetor direção é
\vec v=(2,3,-1).
Logo a equação vetorial fica
r(t)=(0,1,-1)+t\,(2,3,-1).

Passo 3

Para a distância da origem tomamos \overrightarrow{OP_0}=(0,1,-1). O produto vetorial é
\overrightarrow{OP_0}\times \vec v =\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 0&1&-1\\\ 2&3&-1\end{vmatrix} =2\,\mathbf i-2\,\mathbf j-2\,\mathbf k,
com módulo
\bigl\|\overrightarrow{OP_0}\times \vec v\bigr\|=2\sqrt{1^2+1^2+1^2}=2\sqrt{3}.
E \|\vec v\|=\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{14}. Portanto
d=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{6}{7}}.

Resposta

a) r(t)=(0,1,-1)+t\,(2,3,-1).
b) \sqrt{\tfrac{6}{7}}.

Exercícios relacionados