Seja a reta r que passa por P=(3,1,2) e perpendicular ao plano \pi: x-2 y+z=1.
a) Determine as equações paramétricas e simétricas de r.
b) Determine a interseção da reta e o plano \pi.

Passo 1

O enunciado diz que r é a reta que passa por P=(3,1,2) e é perpendicular ao plano
\pi: x - 2y + z = 1.
O conteúdo usado será geometria analítica em \mathbb{R}^3: para achar uma reta perpendicular a um plano, basta usar o vetor normal do plano como vetor diretor da reta.

Passo 2

O vetor normal de \pi é
\mathbf{n} = (1,\,-2,\,1),
logo um vetor diretor de r é \mathbf{v}=\mathbf{n}. Como r passa por P=(3,1,2), as equações paramétricas ficam
x = 3 + t,\quad y = 1 - 2t,\quad z = 2 + t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para escrever em forma simétrica, isolamos t em cada uma:
\frac{x-3}{1} \;=\;\frac{y-1}{-2}\;=\;\frac{z-2}{1}.

Passo 4

Agora achamos a interseção de r com \pi substituindo as paramétricas na equação de \pi:
(3+t)\;-\;2(1-2t)\;+\;(2+t)=1.
Expandindo e somando termos:
3 + t -2 +4t +2 + t =1 \quad\Longrightarrow\quad 3 + 6t = 1 \quad\Longrightarrow\quad t = -\tfrac{1}{3}.
Substituindo t=-\tfrac{1}{3} nas paramétricas, obtemos o ponto de interseção
Q = \bigl(3 - \tfrac13,\;1 + \tfrac23,\;2 - \tfrac13\bigr) = \bigl(\tfrac{8}{3},\,\tfrac{5}{3},\,\tfrac{5}{3}\bigr).

Resposta

a) Equações paramétricas
x = 3 + t,\quad y = 1 - 2t,\quad z = 2 + t.
Equação simétrica
\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-2}{1}.
b) Ponto de interseção
\bigl(\tfrac{8}{3},\,\tfrac{5}{3},\,\tfrac{5}{3}\bigr).

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