Determine o centro de gravidade de uma figura composta por um triângulo e um retângulo, sabendo as dimensões de cada um.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o centro de gravidade de uma figura que é composta por um triângulo e um retângulo, sabendo as dimensões de cada um. O assunto aqui é Centro de Gravidade em Geometria, que é o ponto onde podemos considerar que toda a massa da figura está concentrada. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o centro de gravidade de figuras compostas, usando as coordenadas dos centros de gravidade de cada parte e as áreas delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as áreas do triângulo e do retângulo. Suponha que o retângulo tem base $ b_r $ e altura $ h_r $, e o triângulo tem base $ b_t $ e altura $ h_t $.
A área do retângulo é:
br
E a área do triângulo é:
hr

Passo 3

Em seguida, encontramos as coordenadas dos centros de gravidade de cada forma. Para o retângulo, o centro de gravidade está no ponto que divide suas dimensões ao meio, então:
barxr = br2, baryr = hr2
Para o triângulo, o centro de gravidade está a um terço da altura a partir da base:
barxt = bt2, baryt = ht3

Passo 4

Agora, para encontrar o centro de gravidade da figura composta, usamos a fórmula de centro de massa para sistemas compostos:
barx = Ar times barxr + At times barxtAr + At
bary = Ar times baryr + At times barytAr + At
Ou seja, multiplicamos as áreas de cada forma pelas suas coordenadas de centro de gravidade, somamos tudo e dividimos pela área total da figura.

Passo 5

Substituindo as áreas e as coordenadas que calculamos:
barx = (br hr) times (br2) + (12 bt ht) times (bt2)br hr + 12 bt ht
bary = (br hr) times (hr2) + (12 bt ht) times (ht3)br hr + 12 bt ht

Passo 6

Vamos simplificar as expressões:
Para barx:
barx = br^2 hr2 + bt^2 ht4br hr + bt ht2
Para bary:
bary = br hr^22 + bt ht^26br hr + bt ht2

Passo 7

Por fim, podemos deixar as expressões mais elegantes ou calcular um valor numérico se tivermos as dimensões específicas. Mas, de maneira geral, essas fórmulas nos dão as coordenadas do centro de gravidade da figura composta pelo triângulo e retângulo.

Resposta

O centro de gravidade da figura composta está nas coordenadas (barx, bary) dadas por:
barx = br^2 hr2 + bt^2 ht4br hr + bt ht2
bary = br hr^22 + bt ht^26br hr + bt ht2

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