Seja
. Considere o sólido obtido ao girar ao redor do eixo
a região limitada pela função
. Encontre o volume.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de geometria onde queremos achar o volume de um sólido que resulta ao girar uma certa região ao redor do eixo $ y $. A região é limitada pela função $ f(x) = \sqrt{r^{2} - (x - R)^{2}} $, onde $ 0 < r < R $. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (ou método dos cascalhos cilíndricos), que é uma técnica da matéria de Cálculo Integral para achar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos configurar a integral que vai nos dar o volume. Usando o método dos cilindros, a fórmula geral para o volume $ V $ quando giramos uma função ao redor do eixo $ y $ é:
Aqui, $ x $ é a distância do elemento de área ao eixo de rotação (eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura da função naquele ponto. No nosso caso, os limites de integração $ a $ e $ b $ são $ R - r $ e $ R + r $, respectivamente, porque a função é definida nesse intervalo.
Passo 3
Vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir:
Assim, $ du = dx $ e quando $ x = R - r $, $ u = -r $, e quando $ x = R + r $, $ u = r $. Substituindo na integral, temos:
Isso separa o problema em duas partes facilitando a resolução.
Passo 4
Agora, vamos dividir a integral em duas:
A segunda integral, $ \int_{-r}^{r} u \cdot \sqrt{r^{2} - u^{2}} , du
u $ é ímpar e $ \sqrt{r^{2} - u^{2}} $ é par). Focando na primeira integral:
Isso é conhecido como a área de um semicírculo de raio $ r $.
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é $ V = 2\pi^{2} R r^{2} $.