Seja 0. Considere o sólido obtido ao girar ao redor do eixo y a região limitada pela função f(x)=raizr^2-(x-R)^2. Encontre o volume.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de geometria onde queremos achar o volume de um sólido que resulta ao girar uma certa região ao redor do eixo $ y $. A região é limitada pela função $ f(x) = \sqrt{r^{2} - (x - R)^{2}} $, onde $ 0 < r < R $. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (ou método dos cascalhos cilíndricos), que é uma técnica da matéria de Cálculo Integral para achar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos configurar a integral que vai nos dar o volume. Usando o método dos cilindros, a fórmula geral para o volume $ V $ quando giramos uma função ao redor do eixo $ y $ é:
V
Aqui, $ x $ é a distância do elemento de área ao eixo de rotação (eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura da função naquele ponto. No nosso caso, os limites de integração $ a $ e $ b $ são $ R - r $ e $ R + r $, respectivamente, porque a função é definida nesse intervalo.

Passo 3

Vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir:
u = x - R
Assim, $ du = dx $ e quando $ x = R - r $, $ u = -r $, e quando $ x = R + r $, $ u = r $. Substituindo na integral, temos:
du = dx
Isso separa o problema em duas partes facilitando a resolução.

Passo 4

Agora, vamos dividir a integral em duas:
V = 2pi [ R integral-r^r raizr^2 - u^2 , du + integral-r^r u cdot raizr^2 - u^2 , du ]
A segunda integral, $ \int_{-r}^{r} u \cdot \sqrt{r^{2} - u^{2}} , du integral-r^r u cdot raizr^2 - u^2 , du éàçã u $ é ímpar e $ \sqrt{r^{2} - u^{2}} $ é par). Focando na primeira integral:
u
Isso é conhecido como a área de um semicírculo de raio $ r $.

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão do volume:
V = 2pi [ R cdot pi r^22 + 0 ] = 2pi cdot pi R r^21 = 2pi^2 R r^2

Resposta

O volume do sólido é $ V = 2\pi^{2} R r^{2} $.

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