Calcule oint F cdot d gamma e integralgamma F cdot n d s, onde F(x, y)=4 x^3 y^3 i+(3 x^4 y^2+5 x) j e gamma a fronteira do quadrado de vértice (-1,0),(0,-1),(1,0) e (0,1) e n é a normal unitária externa.

Passo 1

O enunciado pede dois integrais sobre a curva gamma, que é a fronteira do losango
D = (x,y) mid |x| + |y| <= 1,
orientado positivamente (anti--horário):
1. A circulação ointgamma F cdot dgamma.
2. O fluxo integralgamma F cdot n , ds.
O campo é
F(x,y) = l(4x^3y^3,;3x^4y^2 + 5xr)
Para a circulação usaremos o Teorema de Green no plano que diz
ointgamma F cdot dgamma = integral duplaD l(partial F2partial x - partial F1partial yr) dA,
e para o fluxo usamos a forma divergente
integralgamma F cdot n , ds = integral duplaD l(partial F1partial x + partial F2partial yr) dA

Passo 2

Calculemos
partial F2partial x =partialpartial x(3x^4y^2+5x) =12x^3y^2+5
e
partial F1partial y =partialpartial y(4x^3y^3) =12x^3y^2
Logo o integrando de circulação é
partial F2partial x-partial F1partial y =(12x^3y^2+5)-12x^3y^2 =5
Assim
ointgamma vec Fcdot dgamma =integral duplaD 5,dA =5cdotArea(D)
Como D é o losango com diagonais de comprimento 2, sua área é
Area(D)=2cdot22=2,
portanto
ointgamma vec Fcdot dgamma =5cdot2=10

Passo 3

Agora o fluxo, com a divergência
partial F1partial x =partialpartial x(4x^3y^3) =12x^2y^3, partial F2partial y =partialpartial y(3x^4y^2+5x) =6x^4y
Logo
divvec F =12x^2y^3+6x^4y =6x^2y,(2y^2+x^2)
Note que este integrando é função ímpar em y (pois tem um fator y), e D é simétrico em relação ao eixo x. Portanto
integral duplaD 6x^2y(2y^2+x^2),dA =0
Assim
integralgamma vec Fcdotvec n,ds =0

Resposta

ointgamma vec Fcdot dgamma = 10, integralgamma vec Fcdotvec n,ds = 0

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