Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos dados:
e
.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no plano e pede duas coisas:
- Encontrar o centro do círculo que passa por
, e . - Encontrar o raio desse círculo.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
-
. -
. -
.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicação didática e curta do método):
- O centro do círculo que passa por três pontos não-colineares é o ponto de interseção das bissetrizes perpendiculares (perpendicular bisectors) de quaisquer dois dos segmentos formados pelos pontos. Esse ponto chama-se circuncentro.
- Para construir a bissetriz perpendicular de um segmento entre dois pontos
e eu preciso: - Calcular o ponto médio
. - Calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta
: (se ). - A reta perpendicular tem inclinação
(negativo recíproco), salvo quando ou reta vertical (tratamentos especiais, mas neste caso funcionará com recíproco). - A equação da bissetriz perpendicular é a reta que passa por
com inclinação : .
- Calcular o ponto médio
- Interseccionando duas bissetrizes perpendiculares, obtenho o centro
. - O raio
é a distância desse centro a qualquer um dos pontos dados: .
Passo 3
Vou aplicar isso aos segmentos
e
.
Primeiro segmento:
.
- Ponto médio:
- Inclinação de
:
- Inclinação da perpendicular (bissetriz):
Passo 4
Equação da bissetriz perpendicular a
passando por
:
Vou pôr em forma
para facilitar cálculos:
Passo 5
Segundo segmento:
.
- Ponto médio:
- Inclinação de
:
- Inclinação da perpendicular (bissetriz):
Passo 6
Equação da bissetriz perpendicular a
passando por
:
Coloco em forma
:
Passo 7
Agora encontro a interseção das duas bissetrizes (sistema para
):
Vou resolver passo a passo:
Coloco os termos do lado esquerdo com denominador comum
:
Logo
Calculando o lado direito com denominador
:
Portanto
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Multiplico ambos lados por
:
Assim
Agora obtenho
substituindo em uma das equações mais simples, por exemplo em
:
Coloco
, então
Observe que
e
, então simplificando por
:
Passo 8
Concluo que o centro (circuncentro) é
Passo 9
Agora o raio: uso a fórmula da distância entre o centro
e, por exemplo,
:
Calculo as diferenças:
Então
Cálculo dos quadrados:
logo
Podemos escrever o raio de forma exata como
Também posso simplificar
dividindo numerador e denominador por
:
mas a forma em raiz acima é adequada. Em valor aproximado:
Resposta
Centro:
Raio: