Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos dados:
P_{2}=(-1,4), Q_{2}=(4,6) e R_{2}=(0,-7).

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano e pede duas coisas:
  • Encontrar o centro do círculo que passa por P_{2}=(-1,4), Q_{2}=(4,6) e R_{2}=(0,-7).
  • Encontrar o raio desse círculo.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • P_{2}=(-1,4).
  • Q_{2}=(4,6).
  • R_{2}=(0,-7).

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicação didática e curta do método):
  • O centro do círculo que passa por três pontos não-colineares é o ponto de interseção das bissetrizes perpendiculares (perpendicular bisectors) de quaisquer dois dos segmentos formados pelos pontos. Esse ponto chama-se circuncentro.
  • Para construir a bissetriz perpendicular de um segmento entre dois pontos A=(x_1,y_1) e B=(x_2,y_2) eu preciso:
    1. Calcular o ponto médio \displaystyle M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right).
    2. Calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta AB: \displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (se x_2\neq x_1).
    3. A reta perpendicular tem inclinação \displaystyle m_{\perp}=-\dfrac{1}{m_{AB}} (negativo recíproco), salvo quando m_{AB}=0 ou reta vertical (tratamentos especiais, mas neste caso funcionará com recíproco).
    4. A equação da bissetriz perpendicular é a reta que passa por M com inclinação m_{\perp}: \displaystyle y-y_M=m_{\perp}(x-x_M).
  • Interseccionando duas bissetrizes perpendiculares, obtenho o centro (h,k).
  • O raio \,r é a distância desse centro a qualquer um dos pontos dados: \displaystyle r=\sqrt{(h-x_1)^2+(k-y_1)^2}.

Passo 3

Vou aplicar isso aos segmentos P_{2}Q_{2} e P_{2}R_{2}.
Primeiro segmento: P_{2}Q_{2}.
  • Ponto médio:
M_{PQ}=\left(\dfrac{-1+4}{2},\dfrac{4+6}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2},5\right).
  • Inclinação de P_{2}Q_{2}:
m_{PQ}=\dfrac{6-4}{4-(-1)}=\dfrac{2}{5}.
  • Inclinação da perpendicular (bissetriz):
m_{1}= -\dfrac{1}{m_{PQ}}=-\dfrac{1}{\tfrac{2}{5}}=-\dfrac{5}{2}.

Passo 4

Equação da bissetriz perpendicular a P_{2}Q_{2} passando por M_{PQ}=\left(\dfrac{3}{2},5\right):
y-5=-\dfrac{5}{2}\left(x-\dfrac{3}{2}\right).
Vou pôr em forma y= para facilitar cálculos:
y= -\dfrac{5}{2}x + \dfrac{15}{4} +5 = -\dfrac{5}{2}x + \dfrac{15}{4} + \dfrac{20}{4} = -\dfrac{5}{2}x + \dfrac{35}{4}.

Passo 5

Segundo segmento: P_{2}R_{2}.
  • Ponto médio:
M_{PR}=\left(\dfrac{-1+0}{2},\dfrac{4+(-7)}{2}\right)=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}\right).
  • Inclinação de P_{2}R_{2}:
m_{PR}=\dfrac{-7-4}{0-(-1)}=\dfrac{-11}{1}=-11.
  • Inclinação da perpendicular (bissetriz):
m_{2}=-\dfrac{1}{m_{PR}}=-\dfrac{1}{-11}=\dfrac{1}{11}.

Passo 6

Equação da bissetriz perpendicular a P_{2}R_{2} passando por M_{PR}=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}\right):
y+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{11}\left(x+\dfrac{1}{2}\right).
Coloco em forma y=:
y=\dfrac{1}{11}x+\dfrac{1}{22}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{11}x+\dfrac{1}{22}-\dfrac{33}{22}=\dfrac{1}{11}x-\dfrac{16}{11}.

Passo 7

Agora encontro a interseção das duas bissetrizes (sistema para x,y):
-\dfrac{5}{2}x + \dfrac{35}{4} = \dfrac{1}{11}x - \dfrac{16}{11}.
Vou resolver passo a passo:
-\dfrac{5}{2}x - \dfrac{1}{11}x = -\dfrac{16}{11} - \dfrac{35}{4}.
Coloco os termos do lado esquerdo com denominador comum 22:
-\dfrac{55}{22}x - \dfrac{2}{22}x = -\dfrac{16}{11} - \dfrac{35}{4}.
Logo
-\dfrac{57}{22}x = -\dfrac{16}{11} - \dfrac{35}{4}.
Calculando o lado direito com denominador 44:
-\dfrac{16}{11} - \dfrac{35}{4} = -\dfrac{64}{44} - \dfrac{385}{44} = -\dfrac{449}{44}.
Portanto
-\dfrac{57}{22}x = -\dfrac{449}{44}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e isolando x:
\dfrac{57}{22}x = \dfrac{449}{44}.
Multiplico ambos lados por 44:
57\cdot 2\,x = 449 \quad\Rightarrow\quad 114x=449.
Assim
x=\dfrac{449}{114}.
Agora obtenho y substituindo em uma das equações mais simples, por exemplo em y=\dfrac{1}{11}x-\dfrac{16}{11}:
y=\dfrac{1}{11}\cdot\dfrac{449}{114}-\dfrac{16}{11}=\dfrac{449}{1254}-\dfrac{16}{11}.
Coloco \dfrac{16}{11}=\dfrac{1824}{1254}, então
y=\dfrac{449-1824}{1254}=\dfrac{-1375}{1254}.
Observe que 1375=11\cdot125 e 1254=11\cdot114, então simplificando por 11:
y=-\dfrac{125}{114}.

Passo 8

Concluo que o centro (circuncentro) é
\boxed{\left(\dfrac{449}{114},-\dfrac{125}{114}\right)}.

Passo 9

Agora o raio: uso a fórmula da distância entre o centro (h,k) e, por exemplo, P_{2}=(-1,4):
r=\sqrt{\left(h-(-1)\right)^2+\left(k-4\right)^2}.
Calculo as diferenças:
h+1=\dfrac{449}{114}+1=\dfrac{563}{114},\qquad k-4=-\dfrac{125}{114}-4=-\dfrac{581}{114}.
Então
r^2=\left(\dfrac{563}{114}\right)^2+\left(-\dfrac{581}{114}\right)^2=\dfrac{563^2+581^2}{114^2}.
Cálculo dos quadrados:
563^2=316969,\qquad 581^2=337561,
logo
r^2=\dfrac{316969+337561}{114^2}=\dfrac{654530}{12996}.
Podemos escrever o raio de forma exata como
r=\dfrac{\sqrt{654530}}{114}.
Também posso simplificar r^2 dividindo numerador e denominador por 2:
r^2=\dfrac{327265}{6498},
mas a forma em raiz acima é adequada. Em valor aproximado:
r\approx 7{,}0974\quad(\text{aproximado}).

Resposta

Centro: \displaystyle \left(\dfrac{449}{114},-\dfrac{125}{114}\right)
Raio: \displaystyle \dfrac{\sqrt{654530}}{114}\approx 7{,}0974

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