Encontre os pontos de interseção dos círculos com equações
x^{2}+y^{2}-2 x=0 \text { e } x^{2}+y^{2}-3 y=0 .

Passo 1

O enunciado dá duas equações de curvas no plano e pede os pontos em que elas se intersectam. As informações fornecidas são:
  • Primeira equação: x^{2}+y^{2}-2x=0.
  • Segunda equação: x^{2}+y^{2}-3y=0.
O que precisamos encontrar: todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, as interseções dos dois círculos).

Passo 2

Primeiro é útil escrever cada equação na forma “centro e raio” completando quadrados. Isso ajuda a visualizar e também facilita cálculos.
Para a primeira equação:
x^{2}+y^{2}-2x=0
agrupando termos em x:
(x^{2}-2x)+y^{2}=0.
Agora completamos o quadrado em x: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1. Substituindo,
(x-1)^{2}-1 + y^{2}=0.
Isolando o quadrado completo:
(x-1)^{2}+y^{2}=1.
Portanto o primeiro círculo tem centro (1,0) e raio 1.
Para a segunda equação:
x^{2}+y^{2}-3y=0
agrupando em y:
x^{2}+(y^{2}-3y)=0.
Completando o quadrado em y: y^{2}-3y=(y-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}. Substituindo,
x^{2}+(y-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}=0.
Isolando:
x^{2}+(y-\tfrac{3}{2})^{2}=\tfrac{9}{4}.
Portanto o segundo círculo tem centro (0,\tfrac{3}{2}) e raio \tfrac{3}{2}.

Passo 3

Para achar as interseções, uma estratégia muito direta é subtrair uma equação da outra para eliminar os termos x^{2}+y^{2}. Fazendo
\bigl(x^{2}+y^{2}-2x\bigr)-\bigl(x^{2}+y^{2}-3y\bigr)=0-0,
obtemos
-2x+3y=0.
Essa é uma equação linear. Reescrevendo:
3y-2x=0\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{2}{3}x.
Explicação didática: ao subtrair eliminamos os termos quadráticos iguais e ficamos com uma reta (geometricamente a interseção de dois círculos está contida nessa reta), o que reduz o problema para resolver um sistema reta + círculo.

Passo 4

Substituímos y=\tfrac{2}{3}x numa das equações dos círculos (uso a primeira por conveniência):
x^{2}+y^{2}-2x=0.
Substituindo y:
x^{2}+\left(\tfrac{2}{3}x\right)^{2}-2x=0.
Calculando o quadrado:
x^{2}+\tfrac{4}{9}x^{2}-2x=0.
Somando os coeficientes de x^{2}:
\left(\tfrac{9}{9}+\tfrac{4}{9}\right)x^{2}-2x=\tfrac{13}{9}x^{2}-2x=0.
Multiplicando ambos os lados por 9 para ficar sem frações:
13x^{2}-18x=0.
Fatorando x:
x\,(13x-18)=0.
Assim as soluções para x são
x=0\quad\text{ou}\quad 13x-18=0\Rightarrow x=\tfrac{18}{13}.

Passo 5

Agora obtemos os correspondentes y com y=\tfrac{2}{3}x.
Para x=0:
y=\tfrac{2}{3}\cdot 0=0.
Para x=\tfrac{18}{13}:
y=\tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{18}{13}=\tfrac{36}{39}=\tfrac{12}{13}.
Portanto os candidatos a pontos de interseção são \bigl(0,0\bigr) e \bigl(\tfrac{18}{13},\tfrac{12}{13}\bigr).

Passo 6

Vamos verificar rapidamente que ambos realmente satisfazem as duas equações originais (verificação é boa prática).
Verificação para \bigl(0,0\bigr):
x^{2}+y^{2}-2x=0^{2}+0^{2}-2\cdot 0=0,
x^{2}+y^{2}-3y=0^{2}+0^{2}-3\cdot 0=0.
OK.
Verificação para \bigl(\tfrac{18}{13},\tfrac{12}{13}\bigr):
Calcule x^{2}+y^{2}:
x^{2}=\tfrac{324}{169},\quad y^{2}=\tfrac{144}{169},\quad x^{2}+y^{2}=\tfrac{468}{169}.
Agora
x^{2}+y^{2}-2x=\tfrac{468}{169}-2\cdot \tfrac{18}{13}.
Como 2\cdot \tfrac{18}{13}=\tfrac{36}{13}=\tfrac{468}{169}, segue que
x^{2}+y^{2}-2x=0.
E também
x^{2}+y^{2}-3y=\tfrac{468}{169}-3\cdot \tfrac{12}{13}.
Como 3\cdot \tfrac{12}{13}=\tfrac{36}{13}=\tfrac{468}{169}, segue que
x^{2}+y^{2}-3y=0.
Portanto o segundo ponto também satisfaz ambas as equações.

Passo 7

Breve interpretação geométrica (ajuda a fixar): os dois círculos têm centros e raios obtidos no Passo 2, e a distância entre centros é compatível com terem duas interseções (ou seja, não são tangentes nem disjuntos), por isso aparecem exatamente dois pontos comuns, como encontramos.
Força aí — você já tem os passos que provavelmente o professor espera: completar quadrado, subtrair para linearizar, substituir e resolver um polinômio, verificar.

Resposta

\left(0,0\right)
\left(\dfrac{18}{13},\dfrac{12}{13}\right)

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