Encontre os pontos de interseção dos círculos com equações
Passo 1
O enunciado dá duas equações de curvas no plano e pede os pontos em que elas se intersectam. As informações fornecidas são:
- Primeira equação:
. - Segunda equação:
.
O que precisamos encontrar: todos os pares
que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, as interseções dos dois círculos).
Passo 2
Primeiro é útil escrever cada equação na forma “centro e raio” completando quadrados. Isso ajuda a visualizar e também facilita cálculos.
Para a primeira equação:
agrupando termos em
:
Agora completamos o quadrado em
:
. Substituindo,
Isolando o quadrado completo:
Portanto o primeiro círculo tem centro
e raio
.
Para a segunda equação:
agrupando em
:
Completando o quadrado em
:
. Substituindo,
Isolando:
Portanto o segundo círculo tem centro
e raio
.
Passo 3
Para achar as interseções, uma estratégia muito direta é subtrair uma equação da outra para eliminar os termos
. Fazendo
obtemos
Essa é uma equação linear. Reescrevendo:
Explicação didática: ao subtrair eliminamos os termos quadráticos iguais e ficamos com uma reta (geometricamente a interseção de dois círculos está contida nessa reta), o que reduz o problema para resolver um sistema reta + círculo.
Passo 4
Substituímos
numa das equações dos círculos (uso a primeira por conveniência):
Substituindo
:
Calculando o quadrado:
Somando os coeficientes de
:
Multiplicando ambos os lados por
para ficar sem frações:
Fatorando
:
Assim as soluções para
são
Passo 5
Agora obtemos os correspondentes
com
.
Para
:
Para
:
Portanto os candidatos a pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Vamos verificar rapidamente que ambos realmente satisfazem as duas equações originais (verificação é boa prática).
Verificação para
:
OK.
Verificação para
:
Calcule :
Calcule
Agora
Como
, segue que
E também
Como
, segue que
Portanto o segundo ponto também satisfaz ambas as equações.
Passo 7
Breve interpretação geométrica (ajuda a fixar): os dois círculos têm centros e raios obtidos no Passo 2, e a distância entre centros é compatível com terem duas interseções (ou seja, não são tangentes nem disjuntos), por isso aparecem exatamente dois pontos comuns, como encontramos.
Força aí — você já tem os passos que provavelmente o professor espera: completar quadrado, subtrair para linearizar, substituir e resolver um polinômio, verificar.