Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos dados:
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se o centro e o raio do círculo que passa pelos três pontos.
- Pontos fornecidos:
-
Passo 2
Ideia principal e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Um ponto
é o centro do círculo que passa por três pontos distintos quando ele está à mesma distância desses três pontos. Portanto, o centro pertence à mediatriz (bissetriz perpendicular) de qualquer segmento que una dois desses pontos. - Então basta construir duas mediatrizes de segmentos formados pelos três pontos e encontrar a interseção delas: esse ponto de interseção é o centro do círculo.
Fórmulas e conceitos usados:
- Ponto médio entre
e :
- Inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por
e :
desde que
.
- A reta perpendicular a essa reta tem inclinação
(recíproco negativo), desde que . - Equação da reta na forma ponto-inclinação, passando por
com inclinação :
Vamos aplicar isso concretamente aos pares de pontos.
Passo 3
Mediatriz do segmento
:
- Calcular a inclinação da reta
. Usando e :
- A mediatriz é perpendicular, então sua inclinação é
- Calcular o ponto médio de
:
- Equação da mediatriz (reta passando por
com inclinação ). Usando a forma ponto-inclinação:
Simplificando em forma explícita:
Passo 4
Mediatriz do segmento
:
- Calcular a inclinação da reta
. Usando e :
- A mediatriz é perpendicular, então sua inclinação é
- Calcular o ponto médio de
:
- Equação da mediatriz (reta passando por
com inclinação ):
Simplificando:
Passo 5
Interseção das duas mediatrizes = centro do círculo:
Temos as duas retas:
e
Igualando as duas expressões para
:
Resolver para
:
Agora encontrar
usando
:
Portanto o centro é
Passo 6
Cálculo do raio usando a fórmula da distância (explicação):
- A distância entre o centro
e um ponto é dada por
- Escolher um dos pontos dados (por exemplo
) e calcular a distância até .
Calcular as diferenças:
Distância ao quadrado:
Logo o raio é
Simplificar a raiz:
, portanto
(Verificação rápida: calcular a distância do centro a
ou a
dá o mesmo
, então está consistente.)
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: