Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos dados:
P_{1}=(-2,-3), Q_{1}=(4,-1) e R_{1}=(2,-2).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se o centro e o raio do círculo que passa pelos três pontos.
  • Pontos fornecidos:
    • P_{1} = (-2,-3)
    • Q_{1} = (4,-1)
    • R_{1} = (2,-2)

Passo 2

Ideia principal e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Um ponto C é o centro do círculo que passa por três pontos distintos quando ele está à mesma distância desses três pontos. Portanto, o centro pertence à mediatriz (bissetriz perpendicular) de qualquer segmento que una dois desses pontos.
  • Então basta construir duas mediatrizes de segmentos formados pelos três pontos e encontrar a interseção delas: esse ponto de interseção é o centro do círculo.
Fórmulas e conceitos usados:
  • Ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{mid}=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right).
  • Inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
desde que x_2\neq x_1.
  • A reta perpendicular a essa reta tem inclinação m_{\perp}=-\dfrac{1}{m} (recíproco negativo), desde que m\neq 0.
  • Equação da reta na forma ponto-inclinação, passando por (x_0,y_0) com inclinação m:
y-y_0=m(x-x_0).
Vamos aplicar isso concretamente aos pares de pontos.

Passo 3

Mediatriz do segmento P_{1}Q_{1}:
  • Calcular a inclinação da reta P_{1}Q_{1}. Usando P_{1}=(-2,-3) e Q_{1}=(4,-1):
m_{PQ}=\dfrac{-1-(-3)}{4-(-2)}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
  • A mediatriz é perpendicular, então sua inclinação é
m_{1}=-\dfrac{1}{m_{PQ}}=-3.
  • Calcular o ponto médio de P_{1}Q_{1}:
\text{mid}_{PQ}=\left(\dfrac{-2+4}{2},\dfrac{-3+(-1)}{2}\right)=\left(1,-2\right).
  • Equação da mediatriz (reta passando por (1,-2) com inclinação -3). Usando a forma ponto-inclinação:
y-(-2)=-3(x-1).
Simplificando em forma explícita:
y=-3x+1.

Passo 4

Mediatriz do segmento P_{1}R_{1}:
  • Calcular a inclinação da reta P_{1}R_{1}. Usando P_{1}=(-2,-3) e R_{1}=(2,-2):
m_{PR}=\dfrac{-2-(-3)}{2-(-2)}=\dfrac{1}{4}.
  • A mediatriz é perpendicular, então sua inclinação é
m_{2}=-\dfrac{1}{m_{PR}}=-4.
  • Calcular o ponto médio de P_{1}R_{1}:
\text{mid}_{PR}=\left(\dfrac{-2+2}{2},\dfrac{-3+(-2)}{2}\right)=\left(0,-\dfrac{5}{2}\right).
  • Equação da mediatriz (reta passando por \left(0,-\dfrac{5}{2}\right) com inclinação -4):
y+\dfrac{5}{2}=-4(x-0).
Simplificando:
y=-4x-\dfrac{5}{2}.

Passo 5

Interseção das duas mediatrizes = centro do círculo:
Temos as duas retas:
y=-3x+1
e
y=-4x-\dfrac{5}{2}.
Igualando as duas expressões para y:
-3x+1=-4x-\dfrac{5}{2}.
Resolver para x:
-3x+1+4x=-\dfrac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad x+1=-\dfrac{5}{2}.
x=-\dfrac{5}{2}-1=-\dfrac{7}{2}.
Agora encontrar y usando y=-3x+1:
y=-3\left(-\dfrac{7}{2}\right)+1=\dfrac{21}{2}+1=\dfrac{23}{2}.
Portanto o centro é
C=\left(-\dfrac{7}{2},\dfrac{23}{2}\right).

Passo 6

Cálculo do raio usando a fórmula da distância (explicação):
  • A distância entre o centro C=(h,k) e um ponto P=(x,y) é dada por
\text{dist}=\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}.
  • Escolher um dos pontos dados (por exemplo P_{1}=(-2,-3)) e calcular a distância até C.
Calcular as diferenças:
x_P-h=-2-\left(-\dfrac{7}{2}\right)= -2+\dfrac{7}{2}=\dfrac{3}{2},
y_P-k=-3-\dfrac{23}{2}=-\dfrac{29}{2}.
Distância ao quadrado:
r^{2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(-\dfrac{29}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}+\dfrac{841}{4}=\dfrac{850}{4}=\dfrac{425}{2}.
Logo o raio é
r=\sqrt{\dfrac{425}{2}}.
Simplificar a raiz: 425=25\cdot17, portanto
r=5\sqrt{\dfrac{17}{2}}= \dfrac{5\sqrt{34}}{2}.
(Verificação rápida: calcular a distância do centro a Q_{1} ou a R_{1} dá o mesmo r, então está consistente.)

Resposta

Centro: \left(-\dfrac{7}{2},\dfrac{23}{2}\right)
Raio: \dfrac{5\sqrt{34}}{2}

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